Para determinar a equação da hipérbole com focos F1(-1,-1) e F2(1,1) e uma diferença dos raios focais igual a 2, precisamos seguir alguns passos. 1. Identificação dos Focos: Os focos estão localizados em F1(-1,-1) e F2(1,1). A distância entre os focos é dada por \(2c\), onde \(c\) é a distância do centro até um foco. O centro da hipérbole, que é o ponto médio entre os focos, é \((0,0)\). 2. Cálculo de \(c\): A distância entre os focos é: \[ d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Portanto, \(2c = 2\sqrt{2}\) e \(c = \sqrt{2}\). 3. Diferença dos Raios Focais: A diferença dos raios focais é dada por \(2a\), onde \(a\) é a distância do centro até um vértice. Como a diferença dos raios focais é igual a 2, temos \(2a = 2\) e, portanto, \(a = 1\). 4. Cálculo de \(b\): Usamos a relação \(c^2 = a^2 + b^2\): \[ (\sqrt{2})^2 = 1^2 + b^2 \implies 2 = 1 + b^2 \implies b^2 = 1 \implies b = 1 \] 5. Equação da Hipérbole: A hipérbole com focos na diagonal (45 graus) pode ser expressa na forma: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Como \(a = 1\) e \(b = 1\), a equação se torna: \[ \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1} = 1 \implies x^2 - y^2 = 1 \] Agora, analisando as alternativas: a) \(2xy = 1\) - Não é a forma correta. b) \(2xy^2 = 1\) - Não é a forma correta. c) \(2x^2 = \frac{1}{y}\) - Não é a forma correta. d) \(x^2y = 1\) - Não é a forma correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à equação correta da hipérbole que encontramos. Portanto, parece que as opções não estão corretas em relação à questão proposta. Você pode precisar revisar as alternativas ou a formulação da questão.