Para determinar \( F(5,3,-2) \) usando a transformação linear \( F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) e a base \( B = \{ v_1 = (0,1,0), v_2 = (1,0,1), v_3 = (1,1,0) \} \), precisamos expressar o vetor \( (5,3,-2) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B \). Primeiro, vamos encontrar os coeficientes \( a, b, c \) tais que: \[ a v_1 + b v_2 + c v_3 = (5,3,-2) \] Substituindo os vetores da base: \[ a(0,1,0) + b(1,0,1) + c(1,1,0) = (5,3,-2) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( b + c = 5 \) (para a primeira coordenada) 2. \( a + c = 3 \) (para a segunda coordenada) 3. \( b = -2 \) (para a terceira coordenada) Agora, vamos resolver esse sistema: Da terceira equação, temos \( b = -2 \). Substituindo \( b \) na primeira equação: \[ -2 + c = 5 \implies c = 7 \] Agora, substituindo \( c \) na segunda equação: \[ a + 7 = 3 \implies a = 3 - 7 = -4 \] Portanto, temos: - \( a = -4 \) - \( b = -2 \) - \( c = 7 \) Agora, podemos usar esses coeficientes para calcular \( F(5,3,-2) \): \[ F(5,3,-2) = a F(v_1) + b F(v_2) + c F(v_3) \] Substituindo os valores de \( a, b, c \) e as imagens dos vetores: \[ F(5,3,-2) = -4(1,2) + (-2)(3,1) + 7(0,2) \] Calculando cada termo: 1. \( -4(1,2) = (-4, -8) \) 2. \( -2(3,1) = (-6, -2) \) 3. \( 7(0,2) = (0, 14) \) Agora, somamos os resultados: \[ (-4, -8) + (-6, -2) + (0, 14) = (-4 - 6 + 0, -8 - 2 + 14) = (-10, 4) \] Parece que houve um erro na soma. Vamos corrigir: \[ (-4 - 6 + 0, -8 - 2 + 14) = (-10, 4) \] Agora, vamos verificar as opções: (A) (-30,1) (B) (-20,10) (C) (-10,20) (D) (5,10) (E) (6,15) Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Por favor, verifique se os dados da questão estão corretos ou se há mais informações que possam ajudar a resolver.