Para resolver a equação diferencial dada: \[ \frac{dy}{dx} = 2 + 2y + x + xy \] podemos reescrevê-la como: \[ \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + x + xy \] Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos usar o método do fator integrante. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x} \] Multiplicando toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2y e^{-2x} = (2 + x)e^{-2x} \] Agora, a equação pode ser reescrita como: \[ \frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2 + x)e^{-2x} \] Integrando ambos os lados: \[ y e^{-2x} = \int (2 + x)e^{-2x} \, dx \] A integral do lado direito pode ser resolvida por partes. Após resolver a integral e aplicar a condição inicial \( y(1) = 0 \), você encontrará a função \( y(x) \). Finalmente, para encontrar \( y(2) \), você substitui \( x = 2 \) na função \( y(x) \) que você obteve. O valor exato de \( y(2) \) dependerá do resultado da integral e da aplicação da condição inicial. Se precisar de mais detalhes sobre a resolução da integral ou sobre a aplicação da condição inicial, é só avisar!