Assinale o valor de a para que a função definida por f(x)= x.sen 1/x, se x # 0

Para encontrar o valor de \( a \) para que a função \( f(x) = x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) \) seja contínua em \( x = 0 \), precisamos calcular o limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 0. Calculamos: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) \] Sabemos que \( \sen\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1. Portanto, podemos usar a propriedade do limite: \[ -1 \leq \sen\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \] Multiplicando por \( x \) (que se aproxima de 0), temos: \[ -x \leq x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) \leq x \] Assim, ao aplicar o Teorema do Confronto: \[ \lim_{x \to 0} -x = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} x = 0 \] Portanto: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \] Para que a função seja contínua em \( x = 0 \), devemos definir \( f(0) = a \). Assim, o valor de \( a \) deve ser: \[ a = 0 \] Portanto, o valor de \( a \) é 0.