Vamos analisar a função e suas curvas de nível. Função: \( f(x,y) = \sqrt{y^2 - x^2} \) Curvas de nível são dadas por \( f(x,y) = k \), ou seja: \[ \sqrt{y^2 - x^2} = k \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ y^2 - x^2 = k^2 \] Agora, analisamos para diferentes valores de \( k \): - Se \( k < 0 \): \( k^2 \) é positivo, pois o quadrado de um número real é sempre não negativo. Porém, \( f(x,y) = \sqrt{y^2 - x^2} \) é uma raiz quadrada, que por definição é não negativa, então \( k \) não pode ser negativo. Logo, não existem curvas de nível para \( k < 0 \). - Se \( k = 0 \): \[ y^2 - x^2 = 0 \implies y^2 = x^2 \implies y = \pm x \] Ou seja, as curvas de nível são as retas \( y = x \) e \( y = -x \). - Se \( k > 0 \): \[ y^2 - x^2 = k^2 > 0 \] Essa é a equação de uma hipérbole. Resumindo: - Para \( k < 0 \): não existem curvas de nível (pois a raiz quadrada não é negativa). - Para \( k = 0 \): curvas de nível são retas \( y = \pm x \). - Para \( k > 0 \): curvas de nível são hipérboles. Analisando as alternativas: a) A função f não possui curvas de nível. — Incorreto, pois existem para \( k \geq 0 \). b) Se \( k < 0 \), as curvas de nível de f são retas. — Incorreto, pois não existem curvas para \( k < 0 \). c) Se \( k = 0 \), as curvas de nível de f são hipérboles. — Incorreto, são retas. d) Se \( k > 0 \), as curvas de nível de f são hipérboles. — Correto. e) Se \( k > 0 \), as curvas de nível de f são circunferências. — Incorreto. Resposta correta: d) Se k > 0, as curvas de nível de f são hipérboles.