Podemos trabalhar com o fatorial em termos da Fórmula de Stirling:

\(n! \approx \sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e})^n\)

Logo, considerando \(a \in \mathbb{R}\), teremos:

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a^n}{\sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e})^n} = \lim_{n \to +\infty} (\frac{ae}{n})^n \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi n} \\}\)

Perceba que ambas as funções são limitadas, logo:

\(\lim_{n \to +\infty} (\frac{ae}{n})^n \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi n} \\} = 0 \cdot 0 \\ \boxed{\lim_{n \to +\infty} (\frac{ae}{n})^n \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi n} \\} = 0}\)