c

Uma EDO homôgenea , linear de segunda ordem possui a seguinte forma \(ay''+by'+cy=0\)

Para uma equação \(ay''+by'+cy=0\) adotar uma solução da forma \(y=e^{\gamma \cdot t}\)

Vamos reescrever a equação com \(y=e^{\gamma \cdot t}\)

\(\frac{d^2}{dt^2}\left(\left(e^{ɣt}\right)\right)-2\frac{d}{dt}\left(\left(e^{ɣt}\right)\right)+5e^{ɣt}=0\)

\(\frac{d^2}{dt^2}\left(\left(e^{ɣt}\right)\right)=ɣ^2e^{ɣt}\\ \frac{d}{dt}\left(\left(e^{ɣt}\right)\right)=e^{ɣt}ɣ\)

assim

\(ɣ^2e^{ɣt}-2e^{ɣt}ɣ+5e^{ɣt}=0\\ e^{ɣt}\left(ɣ^2-2ɣ+5\right)=0\)

Como \(e^{\gamma \cdot t}\:\ne \:0\) vamos resolver \(ɣ^2-2ɣ+5=0\)

\(x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ ɣ_{1,\:2}=\frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:5}}{2\cdot \:1}\\ ɣ=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:5}}{2\cdot \:1}:\quad 1+2i\\ ɣ=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:5}}{2\cdot \:1}:\quad 1-2i\)

Para duas raizes complexas

\(\gamma _1\ne \gamma _2\mathrm{,\:onde\:}\gamma _1=\alpha +i\:\beta ,\:\gamma _2=\alpha -i\:\beta \)

a solução geral tem a forma

\(y=e^{\alpha \:t}\left(c_1\cos \left(\beta \:t\right)+c_2\ sen \left(\beta \:t\right)\right)\)

ou seja

\(y=e^t\left(c_1\cos \left(2t\right)+c_2\ sen \left(2t\right)\right)\)

Vamos então aplicar as condições dadas

Para t=0

\(4=e^0\left(c_1\cos \left(2\cdot \:0\right)+c_2\ sen \left(2\cdot \:0\right)\right)\\ c1=4\\ y=e^t\left(4\cos \left(2t\right)+c_2 \ sen \left(2t\right)\right)\)

\(-2=e^0\left(4\cos \left(2\cdot \:0\right)+c_2\ sen \left(2\cdot \:0\right)\right)+\left(-8\ sen \left(2\cdot \:0\right)+c_2\cos \left(2\cdot \:0\right)\cdot \:2\right)e^0\\ c2=-3\\ y=e^t\left(4\cos \left(2t\right)-3\ sen \left(2t\right)\right)\)

assim

o resultado final é \(y=e^t\left(4\cos \left(2t\right)-3\ sen \left(2t\right)\right)\)

portanto letra A