Lista de exercícios - Equações diferenciais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHA˜O
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E INFORMA´TICA
Exercc´ıcio
Equac¸o˜es Diferenciais
1. Classifique as equac¸o˜es diferenciais dizendo se elas sa˜o lineares ou na˜o
lineares. Deˆ tambe´m a ordem da equac¸a˜o.
a) (1− x) y′′ − 4xy′ + 5y = Cos (x)
b) yy
′
+ 2y = 1 + x2
c) dy
dx
=
√
1 +
(
d2y
dx2
)2
d) (Sen (x)) y
′′′ − (Cos (x)) y′ = 2
e) (1− y2) dx + xdy = 0
2. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por separac¸a˜o de varia´veis.
a) (x + 1) dy
dx
= x + 6
b) xy
′
= 4y
c) dy
dx
= e3x+2y
d) (4y + yx2) dy = (2x + xy2) dx = 0
e) yln (x) dy
dx
=
(
y+1
x
)2
f) eySen (2x) dx + Cos (x) (e2y − y) dy
g) (ey + 1)2 e−ydx + (ex + 1)3 e−xdy = 0
3. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada usando uma substituic¸a˜o apropri-
ada.
a) (x− y) dx + xdy = 0
b) xdx + (y − 2x) dx = 0
c) (y2 + yx) dx− x2dy = 0
d) dy
dx
= y−x
y+x
e) ydx = 2 (x + y) dy
f) (y2 + yx) dx + x2dy = 0
4. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a condic¸a˜o inicial indicada.
a) xy2 dy
dx
= y3 − x3, y (1) = 2
b) 2x2 dy
dx
= 3xy + y2, y (1) = −2
c)
(
x + ye
y
x
)
dx− xe yxdy = 0, y (1) = 0
5. Verifique se a equac¸a˜o dada e´ exata. Se for, resolva.
a) (2x− 1) dx + (3y + 7) dy = 0
b) (5x + 4y) dx + (4x− 8y3) dy = 0
c) (2y2x− 3) dx + (2yx2 + 4) dy = 0
d) (ylny − e−xy) dx +
(
1
y
+ xlny
)
dy = 0
6. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a condic¸a˜o inicial indicada.
a) (x + y)2 dx + (2xy + x2 − 1) dy = 0, y (1) = 1
b) (4y + 2x− 5) dx + (6y + 4x− 1) dy = 0 y (−1) = 2
c) (ex + y) dx + (2 + x + yey) dy = 0 y (0) = 1
7. Dada a equac¸a˜o diferencial, resolva utilizando um fator integrante apro-
priado.
a) (2y2 + 3x) dx + 2xydy = 0
b) y (x + y + 1) dx + (x + 2) dy = 0
c) 6xydx + (4y + 9x2) dy = 0
d) Cos (x) dx +
(
1 + 2
y
)
Sen (x) dy = 0
e) (y2 + xy3) dx + (5y2 − xy + y3Sen (y)) dy = 0
8. Dada a equac¸a˜o diferencial, use o me´todo discutido na equac¸a˜o de
Bernoulli, para resolver os problemas abaixo.
a) dy
dx
+ y
x
= x2y2
2
b) dy
dx
− y = e2xy3
c) dy
dx
= 2y
x
− x2y2
d) dx
dt
+ tx3 + x
t
= 0
e) dy
dx
+ y = exy−2
9. Resolva a equac¸a˜o de Ricatti dada; y1 e´ uma soluc¸a˜o conhecida para a
equac¸a˜o.
a) dy
dx
= −2− y + y2, y1 = 2
b) dy
dx
= 1− x− y + xy2, y1 = 1
c) dy
dx
= e2x + (1 + 2ex) y + y2, y1 = e
x
d) dy
dx
= −2x2 + 1
x
y − 2y2, y1 = x
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