Vamos resolver passo a passo o problema do circuito RL em série. Dados: - Resistência \( R = 20 \, \Omega \) - Indutância \( L = x \, H \) (a determinar) - Fonte contínua \( V = 200 \, V \) - Tempo \( t = 10 \, s \) - Tensão no indutor após 10 s: \( V_L(10) = 100 e^{-200} \, V \) --- ### Passo 1: Entender o circuito RL em série com fonte DC Quando uma fonte DC é ligada em um circuito RL em série, a corrente \( i(t) \) cresce segundo: \[ i(t) = \frac{V}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L} t}\right) \] A tensão no indutor é dada por: \[ V_L(t) = L \frac{di}{dt} \] --- ### Passo 2: Calcular a derivada da corrente Derivando \( i(t) \): \[ \frac{di}{dt} = \frac{V}{R} \cdot \frac{R}{L} e^{-\frac{R}{L} t} = \frac{V}{L} e^{-\frac{R}{L} t} \] --- ### Passo 3: Expressar a tensão no indutor \[ V_L(t) = L \cdot \frac{di}{dt} = L \cdot \frac{V}{L} e^{-\frac{R}{L} t} = V e^{-\frac{R}{L} t} \] Ou seja, \[ V_L(t) = V e^{-\frac{R}{L} t} \] --- ### Passo 4: Substituir os valores conhecidos Sabemos que: \[ V_L(10) = 100 e^{-200} \] Mas pela fórmula: \[ V_L(10) = 200 e^{-\frac{20}{L} \cdot 10} = 200 e^{-\frac{200}{L}} \] Igualando: \[ 200 e^{-\frac{200}{L}} = 100 e^{-200} \] Dividindo ambos os lados por 100: \[ 2 e^{-\frac{200}{L}} = e^{-200} \] Dividindo ambos os lados por \( e^{-200} \): \[ 2 e^{-\frac{200}{L} + 200} = 1 \] Ou: \[ 2 e^{200 \left(1 - \frac{1}{L}\right)} = 1 \] Dividindo por 2: \[ e^{200 \left(1 - \frac{1}{L}\right)} = \frac{1}{2} \] --- ### Passo 5: Aplicar logaritmo natural \[ 200 \left(1 - \frac{1}{L}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \] \[ 1 - \frac{1}{L} = -\frac{\ln 2}{200} \] \[ -\frac{1}{L} = -\frac{\ln 2}{200} - 1 \] \[ \frac{1}{L} = 1 + \frac{\ln 2}{200} \] --- ### Passo 6: Calcular \( L \) \[ L = \frac{1}{1 + \frac{\ln 2}{200}} = \frac{1}{1 + 0,0034657} \approx \frac{1}{1,0034657} \approx 0,9965 \, H \] --- ### Resposta final: O valor da indutância \( x \) é aproximadamente: \[ \boxed{0,997 \, H} \] --- Se precisar de mais ajuda, é só chamar!