Lista 3 Rolamento

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Universidade de Caxias do Sul 
 
Rotações, Oscilações e Ondas – FIS0268 
 
Lista de Problemas 3: Rolamento, Torque e Momento Angular 
 
1. Um automóvel que se move a 80 km/h possui pneus com 75 cm de diâmetro. a) Qual é a velocidade angular dos 
pneus em relação aos respectivos eixos? b) Se o carro é freado com aceleração constante e as rodas descrevem em 30 
voltas completas (sem deslizamento), qual é o módulo da aceleração angular das rodas? c) Que distância o carro 
percorre durante a frenagem? R. a) 59,2 rad/s; b) 9,3 rad/s
2
; c) 70,7 m 
 
2. De acordo com a figura ao lado, uma força horizontal constante 
F

ap de 10 N é aplicada a 
uma roda com massa de 10 kg e raio de 0,30 m. A roda rola suavemente na horizontal, e o 
módulo da aceleração do centro de massa é 0,60 m/s
2
. a) Em termos dos vetores unitários, 
qual a força de atrito que age sobre a roda? b) Qual é o momento de inércia da roda em 
relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa? R. a) -4 Nî; b) 0,6 kg m
2
 
 
3. Uma bola de boliche, com raio de 11 cm e massa de 7,2 kg, rola sem escorregar por 
uma pista horizontal a 2m/s. Depois, sobe uma rampa, também sem escorregar, até a 
altura h e fica momentaneamente em repouso. Calcular h. R. 0,29 m 
 
 
4. Na figura ao lado um cilindro maciço de raio 10 cm e massa 12 kg é deixado do repouso e 
rola para baixo uma distância L = 6,0 m, sem deslizar, em um teto de inclinação θ = 30º. a) 
Qual a velocidade angular do cilindro em relação ao seu eixo ao deixar o teto? b) A que 
distância horizontal da borda do teto o cilindro atinge o chão, sabendo que a altura do teto é H 
= 5,0 m. R. a) 63 rad/s; b) 4,0 m. 
 
 
5. Um carro de 1000 kg possui quatro rodas de 10 kg. Quando o carro está se movendo, que fração de sua energia 
cinética total é devida a rotação das rodas em torno de seus eixos? Suponha que as rodas têm o mesmo momento de 
inércia que discos de mesma massa e tamanho. Por que você não precisa conhecer os raios das rodas? R. 0,020 
 
6. Considere três objetos uniformes, uma esfera sólida, um cilindro sólido e um anel. 
Ambos estão colocados lado a lado no topo de um plano inclinado de altura h. Ao 
serem liberados do repouso, rolam sem escorregar. Qual objeto chega a base do plano 
inclinado primeiro? Mostre que a sua resposta está correta encontrando uma expressão 
para a velocidade v a) da esfera, b) do cilindro e c) do anel como função de h e g. 
 
7. Um aro de 0,4 m de raio e 0,6 kg de massa rola sem escorregar, a 15 m/s, na direção de um plano inclinado de 
30
o
. Até que altura do plano o aro subirá, admitindo-se que continue a rolar sem escorregar? R. 23 m 
 
8. Um disco, com massa de 1 kg e raio de 0,30 m, rola sem escorregar por um plano inclinado, partindo do repouso 
de uma altura de 1 m. Determine a velocidade com que o disco chegará ao final do plano inclinado. R. 3,6 m/s 
 
9. Na figura ao lado, uma bola maciça rola suavemente a partir do repouso (começando na 
altura H = 6 m) até deixar a parte horizontal no fim da pista, a uma altura h = 2 m. A que 
distância horizontal do ponto A a bola toca o chão? R. 4,8 m 
 
 
10. A força 
F
 = (-8,0 N)i + (6,0 N)j age sobre uma partícula cujo vetor posição é 
r
 = (3,0 m)i + (4,0 m)j. Quais são 
a) o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetores unitários, e b) o ângulo entre 
r
 e 
F
 . R. a) 50 Nmk; b) 90
o
 
 
11. Uma força de F é aplicada horizontalmente, no sentido “-x”, na borda de um disco de raio 
R, como mostrado na figura. Escreva os vetores 
F
 e 
r
 em termos dos vetores unitários i, j e k, 
e calcule o torque produzido por esta força em relação à origem no centro do disco. R. FRk 
2 
12. Calcule o torque, em relação à origem, da força gravitacional 
mgF 
 j que atua sobre uma partícula de massa 
m localizada em 
xr 
 i + 
y
j, e mostre que este torque é independente da coordenada y. 
 
13. Uma partícula de 2 kg descreve, com a velocidade constante de 3,5 m/s, um círculo com 4 m de raio. a) Qual o 
momento angular em relação ao centro do círculo? b) Qual o momento de inércia em relação a um eixo que passa 
pelo centro do círculo e é perpendicular ao plano do movimento? c) Qual a velocidade angular da partícula? 
R. a) 28 kgm
2
/s; b) 32 kgm
2
; c) 0,875 rad/s
2
 
 
14. Uma máquina de Atwood (veja a figura ao lado) tem dois blocos, de massas m1 e m2 (m1 > 
m2), ligados por um fio de massa desprezível que passa por uma polia sem atrito nos mancais. A 
polia é um disco homogêneo de massa M e raio R. O fio não desliza sobre a polia. Use a relação 
entre torque e momento angular ao sistema constituído pelos dois blocos, pelo fio e pela polia 
para determinar a aceleração angular da polia e a aceleração linear dos blocos. 
R. 
ga Mmm
mm
221
21


 e 
R
a
 
 
 
 
15. Um homem está em pé sobre uma plataforma sem atrito que gira com velocidade angular de 1,5 rev/s. Seus 
braços estão estendidos e em cada mão ele segura um massa (“peso”). O momento de inércia do homem, dos dois 
corpos e da plataforma é de 6 kg m
2
 na posição inicial. Quando o homem junta os braços ao corpo, sem largar as 
massas, o momento de inércia diminui para 1,8 kg m
2
. a) Qual a velocidade angular final da plataforma, em rev/s? b) 
Determine a razão entre a energia cinética final e inicial. R. a) 5 rev/s; b) 3,3 maior 
 
16. O raio do Sol é igual a 7x108 m e o seu período de rotação é de 25,3 dias. Estimar o período de rotação que teria o 
Sol se, transformando-se numa estrela anã branca, sem perda de massa, tivesse um raio semelhante ao da Terra, de 
aproximadamente 6x10
6
 m. R. 2,7 min 
 
17. Dois discos de massas iguais (m = 0,5 kg), mas raios diferentes (r1 = 20 cm e 
r2 = 10 cm) estão montados num eixo comum, sem atrito, e giram com a velocidade 
angular inicial de 30 rad/s, porém em sentidos opostos, como mostra a figura ao lado. 
Os dois discos são lentamente reunidos. A força de atrito entre as duas superfícies 
acaba por levá-los a uma velocidade angular comum aos dois. Qual o módulo desta 
velocidade angular final em termos da inicial? R. 3/5 W0 ou 18 rad/s 
 
18. Na figura ao lado, um projétil de 10 g é disparado em um bloco de 0,5 kg preso à 
extremidade de uma haste não-uniforme de 0,6 m e massa igual a 0,5 kg. O sistema bloco-haste-
projétil então gira no plano da figura, em torno de um eixo fixo em A. O momento de inércia 
apenas da haste em torno desse eixo em A é igual a 0,06 kg m
2
. Trate o bloco como uma 
partícula. a) Qual é o momento de inércia do sistema bloco-haste-projétil em torno do ponto A? 
b) Se a velocidade angular do sistema em torno de A imediatamente após o impacto é 4,5 rad/s, 
qual é a velocidade do projétil imediatamente antes do impacto? R. a) 0,244 kg m
2
; b) 183 m/s. 
 
19. Uma criança com massa de 25 kg corre com a velocidade de 2,5 m/s sobre uma reta 
tangente à beira da plataforma de um carrossel (como a figura ao lado), com raio de 2 m e 
momento de inércia de 500 kg m
2
, que está imóvel, e pula para a plataforma permanecendo na 
borda do carrossel. Calcular a velocidade angular final da criança no carrossel. R. 0,21 rad/s 
 
20. Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg m2 de momento de inércia gira em torno do seu 
eixo, sem atrito, completando uma volta a cada 5 s. Uma criança, com 25 kg, está 
inicialmente no centro do carrossel e depois caminha até a borda (conforme a figura ao lado). 
Calcule a velocidade angular que terá, então, o carrossel com a criança na borda. R. 1,05 rad/s 
ou 1/6 rev/s 
 
21. Uma barra de 2,4 m e 16 kg está suportada, no seu ponto médio, por um objeto agudo. Uma bola de argila de 3,2 
kg caido repouso, de uma altura de 1,2 m, e faz uma colisão perfeitamente inelástica com a barra, a 0,9 m do ponto de 
apoio. a) calcule o momento angular do sistema barra-bola de argila imediatamente após a colisão. b) calcule a 
velocidade angular do sistema barra-bola de argila imediatamente após a colisão. 
R. a) 14,0 kgm
2
/s; b) 0,42 rad/s