seja uma PG na qual o 1º termo é 2, o último termo é 256 e a soma dos termos é 510. Qual é o valor da razão dessa PG?

Question

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo:

Dados:
- Primeiro termo $ a_1 = 2 $
- Último termo $ a_n = 256 $
- Soma dos termos $ S_n = 510 $

Queremos encontrar a razão $ r $ da PG.

1. A fórmula do termo geral da PG é:
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
Logo,
$$
256 = 2 \cdot r^{n-1} \implies r^{n-1} = \frac{256}{2} = 128
$$

2. A fórmula da soma dos $ n $ termos da PG é:
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} = 510
$$

3. Como $ r^{n-1} = 128 $, podemos escrever $ r^n = r \cdot r^{n-1} = r \cdot 128 $.

Substituindo na fórmula da soma:
$$
510 = 2 \cdot \frac{r \cdot 128 - 1}{r - 1} = 2 \cdot \frac{128r - 1}{r - 1}
$$

Dividindo ambos os lados por 2:
$$
255 = \frac{128r - 1}{r - 1}
$$

Multiplicando ambos os lados por $ r - 1 $:
$$
255(r - 1) = 128r - 1
$$
$$
255r - 255 = 128r - 1
$$

Subtraindo $128r$ dos dois lados:
$$
255r - 128r - 255 = -1
$$
$$
127r - 255 = -1
$$

Somando 255 aos dois lados:
$$
127r = 254
$$

Dividindo por 127:
$$
r = \frac{254}{127} = 2
$$

**Resposta:** A razão da PG é $ \boxed{2} $.

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