Vamos resolver passo a passo. Dada a função: \( f(x) = \arccos(2x) \), com \( 0 \leq x \leq 0,5 \). Queremos o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto de pontos formados por \( f(x) \) e o eixo y. --- Passo 1: Entender o sólido A rotação é em torno do eixo y, e a função está em termos de x. Para usar o método dos discos ou anéis, é mais fácil expressar x em função de y. --- Passo 2: Expressar x em função de y Se \( y = \arccos(2x) \), então: \[ 2x = \cos y \implies x = \frac{\cos y}{2} \] --- Passo 3: Determinar os limites em y Quando \( x = 0 \): \[ y = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \] Quando \( x = 0,5 \): \[ y = \arccos(2 \times 0,5) = \arccos(1) = 0 \] Então, \( y \) varia de 0 a \( \frac{\pi}{2} \). --- Passo 4: Volume pelo método dos discos (em torno do eixo y) O volume é dado por: \[ V = \pi \int_{y=0}^{\pi/2} [x(y)]^2 dy = \pi \int_0^{\pi/2} \left( \frac{\cos y}{2} \right)^2 dy = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 y}{4} dy = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi/2} \cos^2 y \, dy \] --- Passo 5: Calcular a integral Sabemos que: \[ \cos^2 y = \frac{1 + \cos 2y}{2} \] Então: \[ \int_0^{\pi/2} \cos^2 y \, dy = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2y}{2} dy = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} 1 \, dy + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2y \, dy \] Calculando: \[ = \frac{1}{2} \left[ y \right]_0^{\pi/2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2y}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} ( \sin \pi - \sin 0 ) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4} \] --- Passo 6: Substituir na expressão do volume \[ V = \frac{\pi}{4} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{16} \] --- Resposta correta: c) \(\frac{\pi^2}{16}\)