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Qual o limite de (t^1/2 + t^1/4 + t^1/8)/(t+1)^1/2 quando t tende a +infinito?


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}}(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8})\)


Dividindo o numerador e o denominador por \(t^{1 \over 2}\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}/ \, t^{1 \over 2}}{(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8}) \over t^{1 \over 2}}\)

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over [(t+1)/t]^{1 \over 2}}\Bigg ({ t^{1 \over 2} \over t^{1 \over 2}} + { t^{1 \over 4} \over t^{1 \over 2}}+{ t^{1 \over 8} \over t^{1 \over 2}} \Bigg )\)

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over [1+1/t]^{1 \over 2}} \Big (1 + {1 \over t^{1 \over 4}}+{1 \over t^{3 \over 8}} \Big )\)


Portanto, o resultado final é:

\(\Longrightarrow {1 \over [1+1/\infty]^{1 \over 2}} \Big (1 + {1 \over \infty^{1 \over 4}}+{1 \over \infty^{3 \over 8}} \Big )\)

\(\Longrightarrow {1 \over [1+0]^{1 \over 2}} \Big (1 +0+0 \Big )\)

\(\Longrightarrow {1 \over [1]^{1 \over 2}} \Big (1 \Big )\)

\(\Longrightarrow 1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}}(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8}) = 1 $}\)

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}}(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8})\)


Dividindo o numerador e o denominador por \(t^{1 \over 2}\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}/ \, t^{1 \over 2}}{(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8}) \over t^{1 \over 2}}\)

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over [(t+1)/t]^{1 \over 2}}\Bigg ({ t^{1 \over 2} \over t^{1 \over 2}} + { t^{1 \over 4} \over t^{1 \over 2}}+{ t^{1 \over 8} \over t^{1 \over 2}} \Bigg )\)

\(\Longrightarrow \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over [1+1/t]^{1 \over 2}} \Big (1 + {1 \over t^{1 \over 4}}+{1 \over t^{3 \over 8}} \Big )\)


Portanto, o resultado final é:

\(\Longrightarrow {1 \over [1+1/\infty]^{1 \over 2}} \Big (1 + {1 \over \infty^{1 \over 4}}+{1 \over \infty^{3 \over 8}} \Big )\)

\(\Longrightarrow {1 \over [1+0]^{1 \over 2}} \Big (1 +0+0 \Big )\)

\(\Longrightarrow {1 \over [1]^{1 \over 2}} \Big (1 \Big )\)

\(\Longrightarrow 1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \underset{t \to +\infty} \lim {1 \over (t+1)^{1 \over 2}}(t^{1 \over 2} + t^{1 \over 4}+t^{1 \over 8}) = 1 $}\)

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Acleydson

Há mais de um mês

lim[(t^1/2 + t^1/4 + t^1/8)/(t+1)^1/2] = lim {[(t^1/2 + t^1/4 + t^1/8)/((t+1)^1/2)]*[((t+1)^1/2)/((t+1)^1/2)]} = lim {[(t + 2t^1/2 + 2t^1/4 + t^1/8)/t]/[(t+1)/t]} = lim [(1+2/t^1/2 + 2/t^3/4 + t^7/8)/(1 + 1/t)] Se t tende ao infinito positivo, então frações do tipo 1/t^1/2 tenderá a zero. Logo: lim [(1+2/t^1/2 + 2/t^3/4 + t^7/8)/(1 + 1/t)] = lim (1/1) = 1 Resultado: 1

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