Prof Arthur Alves Matéria: Matemática

Colégio e Curso Progressão Vila da Penha
(EsSA – 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 26x – 16, e que a b. Nessas condições, o valor de ab + logb a é:
a) 49/3
b) 193/3
c) 67
d) 64
e) 19

Question

Prof Arthur Alves                                                                Matéria: Matemática

Colégio e Curso Progressão Vila da Penha
(E...

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Vamos analisar o problema passo a passo.

Dado o polinômio:  
p(x) = x³ – 11x² + 26x – 16

As raízes são: 1, a e b, com a > b.

Pelo Teorema de Viète para polinômios cúbicos:  
Se as raízes são r₁, r₂ e r₃, então:

1) Soma das raízes: r₁ + r₂ + r₃ = 11  
2) Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas: r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 26  
3) Produto das raízes: r₁ * r₂ * r₃ = 16

Como as raízes são 1, a e b, temos:

1 + a + b = 11 → a + b = 10  
(1)(a) + (1)(b) + a*b = 26 → a + b + ab = 26  
Produto: 1 * a * b = 16 → ab = 16

Da segunda equação:  
a + b + ab = 26  
Substituindo a + b = 10 e ab = 16:  
10 + 16 = 26 → Confere.

Queremos calcular: ab + log_b a

Sabemos que ab = 16.

Agora, vamos calcular log_b a.

Note que a e b são raízes da equação x² - (a + b)x + ab = 0, ou seja:  
x² - 10x + 16 = 0

As raízes dessa equação são a e b.

Vamos encontrar a e b:

Δ = 10² - 4*1*16 = 100 - 64 = 36  
a = (10 + 6)/2 = 16/2 = 8  
b = (10 - 6)/2 = 4/2 = 2

Como a > b, a = 8 e b = 2.

Agora, log_b a = log_2 8.

Sabemos que 8 = 2³, então:  
log_2 8 = 3

Finalmente:  
ab + log_b a = 16 + 3 = 19

Resposta correta: e) 19

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Exercícios de Polinômios

(EsSA – 2014) Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes −1/1, e 2/2 é:
a) x3 - 2x2 - 5x – 2 = 0.
b) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0.
c) 2x3 - x2 + 5x – 2 = 0.
d) 2x3 - x2 - 2x – 2 = 0.
e) 2x3 - x2 - 5x – 2 = 0.

EsSA 2016
O grau do polinômio (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1) é:
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2

(EsSA – 2016) O conjunto solução da equação x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 é:
a) S = {–3; –1; 2}
b) S = {–0,5; –3; 4}
c) S = {–3; 1; 2}
d) S = {–2; 1; 3}
e) S = {0,5; 3; 4}

(EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então seu valor é divisor de
a) 10.
b) 16.
c) 18.
d) 20.

(EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio P(x) do 4° grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o termo independente é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.

(EEAr – 2010) Sabe-se que a equação x4 – 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a (x – 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa equação é
a) -3
b) -1
c) 1
d) 3

(EEAr - 2011) Seja r a maior raiz da equação x(x + 2)(x - 1)3 = 0. Se m é a multiplicidade de r, então r.m é igual a
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3

(EEAr - 2011) Se o polinômio P(x) = ax3 - 3x2 - bx - 3 é divisível por (x - 3)(x + 1), então o valor de a + b é
a) 10
b) 8
c) 7
d) 5

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EsSA 2016O grau do polinômio (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1) é:(A) 6(B) 5(C) 3(D) 4(E) 2

(EsSA – 2016) O conjunto solução da equação x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 é:a) S = {–3; –1; 2}b) S = {–0,5; –3; 4}c) S = {–3; 1; 2}d) S = {–2; 1; 3}e) S = {0,5; 3; 4}

(EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então seu valor é divisor dea) 10.b) 16.c) 18.d) 20.

(EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio P(x) do 4° grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o termo independente éa) 3.b) 4.c) 5.d) 6.

(EEAr – 2010) Sabe-se que a equação x4 – 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a (x – 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa equação éa) -3b) -1c) 1d) 3

(EEAr - 2011) Seja r a maior raiz da equação x(x + 2)(x - 1)3 = 0. Se m é a multiplicidade de r, então r.m é igual aa) 6b) 5c) 4d) 3

(EEAr - 2011) Se o polinômio P(x) = ax3 - 3x2 - bx - 3 é divisível por (x - 3)(x + 1), então o valor de a + b éa) 10b) 8c) 7d) 5

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a) x3 - 2x2 - 5x – 2 = 0.
b) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0.
c) 2x3 - x2 + 5x – 2 = 0.
d) 2x3 - x2 - 2x – 2 = 0.
e) 2x3 - x2 - 5x – 2 = 0.

EsSA 2016
O grau do polinômio (4x− 1)(x2 − x− 3)(x+ 1) é:
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2

(EsSA – 2016) O conjunto solução da equação x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 é:
a) S = {–3; –1; 2}
b) S = {–0,5; –3; 4}
c) S = {–3; 1; 2}
d) S = {–2; 1; 3}
e) S = {0,5; 3; 4}

(EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então seu valor é divisor de
a) 10.
b) 16.
c) 18.
d) 20.

(EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio P(x) do 4° grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o termo independente é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.

(EEAr – 2010) Sabe-se que a equação x4 – 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a (x – 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa equação é
a) -3
b) -1
c) 1
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a) 6
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c) 4
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a) 10
b) 8
c) 7
d) 5