Vamos calcular a frequência fundamental de oscilação torcional do eixo passo a passo. Dados: - Densidade do aço, ρ = 7,8 × 10³ kg/m³ (corrigindo a unidade, pois 7,8 kg/m³ é muito baixo) - Módulo de rigidez, G = 80 GPa = 80 × 10⁹ Pa - Comprimento, L = 2 m - Diâmetro, d = 50 mm = 0,05 m --- Passo 1: Calcular o momento polar de inércia da seção transversal (J) Para seção circular: \[ J = \frac{\pi d^4}{32} \] \[ J = \frac{\pi (0,05)^4}{32} = \frac{\pi \times 6,25 \times 10^{-7}}{32} \approx 6,136 \times 10^{-8} \, m^4 \] --- Passo 2: Calcular a massa por unidade de comprimento (m') Área da seção transversal: \[ A = \pi \frac{d^2}{4} = \pi \frac{(0,05)^2}{4} = \pi \times 6,25 \times 10^{-4} \approx 1,9635 \times 10^{-3} \, m^2 \] Massa por unidade de comprimento: \[ m' = \rho \times A = 7,8 \times 10^3 \times 1,9635 \times 10^{-3} \approx 15,31 \, kg/m \] --- Passo 3: Calcular a frequência fundamental de oscilação torcional A frequência angular fundamental para um eixo fixo em ambas as extremidades é dada por: \[ \omega = \frac{\beta_1^2}{L} \sqrt{\frac{GJ}{\rho I_p}} \] Mas para oscilação torcional, a fórmula simplificada é: \[ \omega = \frac{\pi}{L} \sqrt{\frac{GJ}{I_p}} \] No entanto, para um eixo, a frequência fundamental de torção é: \[ f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{GJ}{\rho I_p}} \] Mas precisamos do momento de inércia polar de massa (I_p), que para um eixo sólido é: \[ I_p = \frac{1}{2} m' r^2 \] Onde: \[ r = \frac{d}{2} = 0,025 \, m \] Então: \[ I_p = \frac{1}{2} \times 15,31 \times (0,025)^2 = 0,00478 \, kg \cdot m \] --- Passo 4: Calcular a frequência angular \[ \omega = \frac{\pi}{L} \sqrt{\frac{GJ}{I_p}} = \frac{3,1416}{2} \times \sqrt{\frac{80 \times 10^9 \times 6,136 \times 10^{-8}}{0,00478}} \] Calculando o termo dentro da raiz: \[ \frac{80 \times 10^9 \times 6,136 \times 10^{-8}}{0,00478} = \frac{4,9088 \times 10^3}{0,00478} \approx 1,027 \times 10^6 \] Raiz quadrada: \[ \sqrt{1,027 \times 10^6} \approx 1013,4 \] Finalmente: \[ \omega = \frac{3,1416}{2} \times 1013,4 \approx 1,5708 \times 1013,4 = 1591,5 \, rad/s \] --- Resposta: A frequência fundamental de oscilação torcional do eixo é aproximadamente 1591,5 rad/s.