Vamos analisar o problema passo a passo. Temos três satélites que passam sobre Recife em horários diferentes e com períodos orbitais diferentes: - Satélite 1: passa às 1h, período orbital de 13 horas. - Satélite 2: passa às 4h, período orbital de 15 horas. - Satélite 3: passa às 8h, período orbital de 19 horas. Queremos saber após quantas horas desde a meia-noite os três satélites passarão simultaneamente sobre Recife. --- Passo 1: Ajustar os horários para o mesmo referencial Como o primeiro satélite passa às 1h, ele está 1 hora adiantado em relação à meia-noite (0h). O segundo passa às 4h, ou seja, 4 horas após a meia-noite. O terceiro passa às 8h, 8 horas após a meia-noite. --- Passo 2: Definir as equações para os momentos em que cada satélite passa Para o satélite 1, que passa às 1h e tem período 13h, os momentos em que passa são: t = 1 + 13k, k = 0,1,2,... Para o satélite 2: t = 4 + 15m, m = 0,1,2,... Para o satélite 3: t = 8 + 19n, n = 0,1,2,... Queremos encontrar o menor t > 0 que satisfaça: t ≡ 1 (mod 13) t ≡ 4 (mod 15) t ≡ 8 (mod 19) --- Passo 3: Resolver o sistema de congruências Vamos usar o método do sistema modular. Primeiro, escrevemos: t ≡ 1 mod 13 t ≡ 4 mod 15 t ≡ 8 mod 19 --- Passo 4: Resolver as duas primeiras congruências Queremos t que satisfaça: t ≡ 1 mod 13 t ≡ 4 mod 15 Vamos escrever t = 1 + 13a Substituir na segunda congruência: 1 + 13a ≡ 4 mod 15 13a ≡ 3 mod 15 Como 13 mod 15 = 13, temos: 13a ≡ 3 mod 15 Multiplicamos ambos os lados por inverso de 13 mod 15. O inverso de 13 mod 15 é o número x tal que 13x ≡ 1 mod 15. Testando: 13*7 = 91 ≡ 1 mod 15 (porque 91 - 6*15=91-90=1) Então, inverso de 13 mod 15 é 7. Multiplicando: a ≡ 3 * 7 = 21 ≡ 6 mod 15 Então, a ≡ 6 mod 15 Logo, a = 6 + 15k --- Passo 5: Encontrar t t = 1 + 13a = 1 + 13*(6 + 15k) = 1 + 78 + 195k = 79 + 195k --- Passo 6: Agora, t ≡ 8 mod 19 Substituir t: 79 + 195k ≡ 8 mod 19 Calculamos 79 mod 19: 19*4=76, 79-76=3, então 79 ≡ 3 mod 19 195 mod 19: 19*10=190, 195-190=5, então 195 ≡ 5 mod 19 Então: 3 + 5k ≡ 8 mod 19 5k ≡ 5 mod 19 Dividimos ambos os lados por 5. O inverso de 5 mod 19 é o número x tal que 5x ≡ 1 mod 19. Testando: 5*4=20 ≡ 1 mod 19 (20-19=1) Então, inverso de 5 mod 19 é 4. Multiplicando: k ≡ 5 * 4 = 20 ≡ 1 mod 19 Logo, k = 1 + 19m --- Passo 7: Calcular t para k=1 t = 79 + 195k = 79 + 195*1 = 274 --- Passo 8: Verificar se t=274 satisfaz as três congruências - t mod 13: 274 / 13 = 21*13=273, resto 1 → ok - t mod 15: 274 / 15 = 18*15=270, resto 4 → ok - t mod 19: 274 / 19 = 14*19=266, resto 8 → ok --- Resposta: Os três satélites passarão simultaneamente sobre Recife daqui a 274 horas após a meia-noite de hoje. --- Alternativa correta: a) Daqui a 274 horas após a meia-noite de hoje.