Vamos analisar passo a passo. A função da superfície é dada por: \( z = 9 - x^2 - y^2 \). 1) O vetor gradiente \(\nabla z\) é dado por: \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (-2x, -2y). \] No ponto (1,2), temos: \[ \nabla z (1,2) = (-2 \cdot 1, -2 \cdot 2) = (-2, -4). \] O vetor gradiente no ponto (1,2) é \((-2, -4)\), não \(\sqrt{z} \, \mathbf{i}\) (que seria algo como \(\sqrt{z} \hat{i}\)). Portanto, a afirmativa 1 está incorreta. 2) A partícula se move na direção de maior declive, que é a direção oposta ao vetor gradiente (pois o gradiente aponta para a direção de maior crescimento). O vetor gradiente é \((-2, -4)\), então a direção de maior declive é \((2,4)\), que não é (1,1). Portanto, a afirmativa 2 está incorreta. 3) A magnitude do vetor gradiente é: \[ |\nabla z| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4,47. \] A taxa de variação na direção x é \(|-2|=2\) e na direção y é \(|-4|=4\). Como 4 > 2, a taxa de variação da altura é maior na direção y do que na direção x. Portanto, a afirmativa 3 está correta. Conclusão: Apenas a afirmativa 3 está correta. Como não foram fornecidas as alternativas, a resposta correta é: apenas a afirmativa 3 está correta.