Vamos resolver passo a passo. Dado: - Reta parametrizada por \( r(\lambda) = (1 - \sqrt{2} - \lambda \sqrt{3}, \; 1 + \sqrt{3} - \lambda \sqrt{2}) \) - Círculo \( C \) centrado em \( P = (1,1) \), tangenciado pela reta \( r \) em algum ponto. --- ### (a) Encontrar uma parametrização do círculo \( C \) Um círculo centrado em \( P = (1,1) \) com raio \( R \) pode ser parametrizado por: \[ C(t) = (1 + R \cos t, \; 1 + R \sin t), \quad t \in \mathbb{R} \] Para determinar \( R \), usamos o fato de que a reta \( r \) é tangente ao círculo, ou seja, a distância do centro \( P \) até a reta é igual ao raio \( R \). --- ### Passo 1: Escrever a reta na forma geral A reta \( r(\lambda) \) tem vetor diretor: \[ \vec{d} = (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \] Um ponto da reta é: \[ A = (1 - \sqrt{2}, \; 1 + \sqrt{3}) \] --- ### Passo 2: Calcular a distância do ponto \( P = (1,1) \) até a reta A fórmula da distância do ponto \( P \) até a reta que passa por \( A \) com vetor diretor \( \vec{d} \) é: \[ d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{\|\vec{d}\|} \] onde \[ \vec{AP} = P - A = (1 - (1 - \sqrt{2}), \; 1 - (1 + \sqrt{3})) = (\sqrt{2}, \; -\sqrt{3}) \] O produto vetorial em 2D (considerando o vetor como no plano xy) é dado por: \[ \vec{AP} \times \vec{d} = x_{AP} \cdot y_d - y_{AP} \cdot x_d \] Calculando: \[ \vec{AP} \times \vec{d} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = -2 - 3 = -5 \] O módulo é \( | -5 | = 5 \). O módulo do vetor diretor: \[ \|\vec{d}\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5} \] Logo, a distância é: \[ d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] --- ### Passo 3: Concluir o raio do círculo Como a reta é tangente ao círculo, o raio \( R = d = \sqrt{5} \). --- ### Resposta (a): \[ C(t) = \left(1 + \sqrt{5} \cos t, \; 1 + \sqrt{5} \sin t \right), \quad t \in \mathbb{R} \] --- ### (b) Encontrar a equação vetorial da reta normal ao círculo \( C \) que passa pelo ponto \( Q \), interseção entre \( C \) e a reta \( r \). --- ### Passo 1: Encontrar o ponto \( Q \) O ponto \( Q \) está na reta \( r \) e no círculo \( C \), então: \[ r(\lambda) = (1 - \sqrt{2} - \lambda \sqrt{3}, \; 1 + \sqrt{3} - \lambda \sqrt{2}) \] satisfaz a equação do círculo: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5 \] Substituindo \( x \) e \( y \): \[ (1 - \sqrt{2} - \lambda \sqrt{3} - 1)^2 + (1 + \sqrt{3} - \lambda \sqrt{2} - 1)^2 = 5 \] Simplificando: \[ (-\sqrt{2} - \lambda \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} - \lambda \sqrt{2})^2 = 5 \] Calculando: \[ (\sqrt{2} + \lambda \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} - \lambda \sqrt{2})^2 = 5 \] Expandindo: \[ (\sqrt{2})^2 + 2 \lambda \sqrt{2} \sqrt{3} + \lambda^2 (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \lambda \sqrt{3} \sqrt{2} + \lambda^2 (\sqrt{2})^2 = 5 \] \[ 2 + 2 \lambda \sqrt{6} + 3 \lambda^2 + 3 - 2 \lambda \sqrt{6} + 2 \lambda^2 = 5 \] Note que \( 2 \lambda \sqrt{6} - 2 \lambda \sqrt{6} = 0 \), então: \[ 2 + 3 + 3 \lambda^2 + 2 \lambda^2 = 5 \] \[ 5 + 5 \lambda^2 = 5 \] \[ 5 \lambda^2 = 0 \implies \lambda = 0 \] --- ### Passo 2: Encontrar \( Q \) Para \( \lambda = 0 \): \[ Q = r(0) = (1 - \sqrt{2}, \; 1 + \sqrt{3}) \] --- ### Passo 3: Equação da reta normal ao círculo em \( Q \) A reta normal ao círculo no ponto \( Q \) passa pelo centro \( P = (1,1) \) e pelo ponto \( Q \). O vetor diretor da reta normal é: \[ \vec{n} = Q - P = (1 - \sqrt{2} - 1, \; 1 + \sqrt{3} - 1) = (-\sqrt{2}, \; \sqrt{3}) \] --- ### Resposta (b): A equação vetorial da reta normal é: \[ r_n(\mu) = Q + \mu \vec{n} = (1 - \sqrt{2}, \; 1 + \sqrt{3}) + \mu (-\sqrt{2}, \; \sqrt{3}), \quad \mu \in \mathbb{R} \] --- Se precisar de mais ajuda, só chamar!