Vamos analisar cada conjunto para verificar se forma um espaço vetorial em R², ou seja, se satisfaz os axiomas, principalmente fechamento sob adição e multiplicação por escalar. a) Conjunto de vetores (x, y) com x + y = 0 - Verificação: Se (x₁, y₁) e (x₂, y₂) satisfazem x + y = 0, então x₁ + y₁ = 0 e x₂ + y₂ = 0. - Soma: (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) = 0 + 0 = 0 → fechado na soma. - Multiplicação por escalar: Para escalar k, kx + ky = k(x + y) = k*0 = 0 → fechado. - Portanto, é um subespaço vetorial. b) Conjunto de vetores (x, y) com x ≥ 0 - Verificação: Se (x₁, y₁) e (x₂, y₂) têm x₁, x₂ ≥ 0, a soma tem x₁ + x₂ ≥ 0 → fechado na soma. - Multiplicação por escalar: Se k = -1 e (x, y) com x ≥ 0, então k(x, y) = (-x, -y), e -x pode ser negativo → não fechado. - Portanto, NÃO é um espaço vetorial. c) Conjunto de vetores (x, 0) (eixo x) - Soma: (x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0) → fechado. - Multiplicação por escalar: k(x, 0) = (kx, 0) → fechado. - É um subespaço vetorial. d) Conjunto de vetores (x, y) com xy = 0 - Verificação: (1, 0) e (0, 1) pertencem ao conjunto (pois 1*0=0 e 0*1=0). - Soma: (1, 0) + (0, 1) = (1, 1), mas 1*1 = 1 ≠ 0 → não fechado na soma. - Portanto, NÃO é um espaço vetorial. e) R² completo - Obviamente é um espaço vetorial. Conclusão: Os conjuntos que NÃO formam espaço vetorial são os das alternativas b) e d). Como a pergunta pede qual NÃO forma espaço vetorial, e entre as opções dadas, a que claramente não forma é a alternativa b) (x ≥ 0). Resposta correta: b) Conjunto de todos os vetores (x, y) com x ≥ 0.