Grátis: Dado o triángulo ABC com bissetrizes BM e CN (M € AC, N € AB). A semi-reta MN intercepta o circuncírculo de AABC no ponto D. Prove que 1/BD + 1/AD ...

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Dado o triángulo ABC com bissetrizes BM e CN (M € AC, N € AB). A semi-reta MN intercepta o circuncírculo de AABC no ponto D.
Prove que 1/BD + 1/AD = 1/CD

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Dado um triángulo acutángulo ABC, seja D o ponto médio do arco BC do circuncírculo de ABC, náo contendo A. Os pontos que sáo simétricos a D com relagáo à reta BC e com relagáo ao centro do circuncírculo sáo denotados E e F, respectivamente. Finalmente, seja K o ponto médio do segmento EA.
Demonstre que (a) a circunferéncia que passa pelos pontos médios dos lados do triángulo ABC também passa por K; (b) a reta passando por K e pelo ponto médio do segmento BC é perpendicular a AF.

Encontre o menor inteiro positivo K tal que todo subconjunto com K elementos de {1, 2,...,50} contém dois elementos distintos a, b tais que a + b divide ab.

Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polinómio com coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n são diferentes potências de 2.

Determine os inteiros N > 3 para os quais existem N pontos no plano, não estando três em uma mesma reta, tais que cada triângulo formado por 3 vértices do fecho convexo deste conjunto de pontos contém exatamente um dos pontos em seu interior.

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Encontre o menor inteiro positivo K tal que todo subconjunto com K elementos de {1, 2,...,50} contém dois elementos distintos a, b tais que a + b divide ab.

Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polinómio com coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n são diferentes potências de 2.

Determine os inteiros N > 3 para os quais existem N pontos no plano, não estando três em uma mesma reta, tais que cada triângulo formado por 3 vértices do fecho convexo deste conjunto de pontos contém exatamente um dos pontos em seu interior.

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