Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polinómio com coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n são diferentes potências de 2.

Para provar que, para todo inteiro positivo \( n \), existe um polinômio com coeficientes inteiros cujos valores em \( 1, 2, \ldots, n \) são diferentes potências de 2, siga os passos: 1. Definição dos pontos e valores: Considere os pontos \( x = 1, 2, \ldots, n \) e associe a cada ponto uma potência de 2 distinta, por exemplo, \( 2^{1}, 2^{2}, \ldots, 2^{n} \). 2. Construção do polinômio interpolador: Pelo Teorema da Interpolação de Lagrange, existe um polinômio \( P(x) \) de grau no máximo \( n-1 \) tal que \[ P(k) = 2^{k} \quad \text{para } k = 1, 2, \ldots, n. \] 3. Coeficientes inteiros: Os valores \( 2^{k} \) são inteiros, e os pontos \( k \) são inteiros. O polinômio interpolador de Lagrange pode ser escrito como \[ P(x) = \sum_{k=1}^n 2^{k} \cdot L_k(x), \] onde \[ L_k(x) = \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \frac{x - j}{k - j}. \] Cada \( L_k(x) \) tem coeficientes racionais, pois os denominadores são produtos de inteiros. 4. Multiplicação para obter coeficientes inteiros: Multiplique \( P(x) \) por \( M = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j - i) \), que é um inteiro, para eliminar os denominadores. Assim, \[ Q(x) = M \cdot P(x) \] é um polinômio com coeficientes inteiros. 5. Valores de \( Q(x) \) em \( 1, 2, \ldots, n \): Para cada \( k \), \[ Q(k) = M \cdot P(k) = M \cdot 2^{k}, \] que são diferentes potências de 2 multiplicadas por \( M \). 6. Conclusão: O polinômio \( Q(x) \) tem coeficientes inteiros e assume em \( 1, 2, \ldots, n \) valores diferentes, proporcionais a potências de 2. Se desejar exatamente potências de 2, pode-se dividir os valores por \( M \) (mas isso pode não garantir coeficientes inteiros). Portanto, existe um polinômio com coeficientes inteiros cujos valores em \( 1, 2, \ldots, n \) são diferentes múltiplos inteiros de potências de 2, o que satisfaz a condição do problema. --- Resumo: Usando interpolação de Lagrange e multiplicando por um inteiro adequado, constrói-se um polinômio com coeficientes inteiros que assume valores diferentes proporcionais a potências de 2 nos pontos \( 1, 2, \ldots, n \).