Calcular a derivada !

Usando a regra do produto, temos:

F'(t) = ((7t² + 6t)^7)' . (3t-1)^4 + (7t²+6t)^7 . ((3t-1)^4)'

F'(t) = 7(7t² + 6t)^6 . 14t+6 . (3t-1)^4  + (7t²+6t)^7 . 4 (3t-1)^3 . 3

F'(t) = 7(7t² + 6t)^6 . 14t+6 . (3t-1)^4  + 12 (7t²+6t)^7 . (3t-1)^3

^  =  Significa elevado.

A conta do Emanuel Sousa está correta, porém é:

Regra do produto + Regra da cadeia


Produto:

f(x).g(x) ' = f(x)'.g(x) + g(x)'.f(x)

Ex: (3x*2x)'

= 3x'*2x + 2x'*3x
= 3*2x+2*3x
= 6x+6x
= 12x


Cadeia:

(fºg)' = (f'ºg).g'

Ex: (4x+2)^3'

= 3*(4x+2)^2 * 4
= 12*(4x+2)^2


Espero ter ajudado ;)

Tomando E como constante, já que não foi definida a dependência com t, temos:

\(F(t)= (7E^2+6E)^7 \cdot (3t-1)^4\)

Quando derivamos com relação ao tempo, as constantes multiplicativas continuam imutáveis:

\({d\over dt}F(t)= (7E^2+6E)^7 {d\over dt}(3t-1)^4\)

Vamos tomar \(x(t) = 3t-1\) e usar a regra da cadeia:

\({d\over dt}F(t)= (7E^2+6E)^7 \left({d\over dx}x^4\right)\cdot {dx\over dt}\)

Calculando a derivada em \(x\) através da regra do tombo e explicitando a função \(x(t)\), temos:

\({d\over dt}F(t)= (7E^2+6E)^7 \left(4x^{4-1}\right)\cdot {d\over dt}(3t-1)\)

Calculando a derivada em \(t\) pela soma das derivadas, temos:

\({d\over dt}F(t)= (7E^2+6E)^7 4x^3\cdot \left({d\over dt}3t-{d\over dt}1\right)\)

Para a primeira derivada temos a regra do tombo, e para a segunda temos a derivada de uma constante:

\({d\over dt}F(t)= (7E^2+6E)^7 4x^3\cdot \left(3\cdot1t^{1-1}-0\right)\)

Finalmente temos:

\(\boxed{{d\over dt}F(t)= 12(7E^2+6E)^7 x^3}\)