Seja : \(\lim _{x\to \:0}\left(\left(1-3x\right)^{\frac{4}{3x}}\right)\)

Podemos aplicar a seguinte propriedade: \(a^x=e^{\ln \left(a^x\right)}=e^{x\cdot \ln \left(a\right)}\):

\(\left(1-3x\right)^{\frac{4}{3x}}=e^{\frac{4}{3x}\ln \left(1-3x\right)}\)

Assim:

\(=\lim _{x\to \:0}\left(e^{\frac{4}{3x}\ln \left(1-3x\right)}\right)\)

Podemos calcular o limite do expoente separadamente:

\(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{4}{3x}\ln \left(1-3x\right)\right)\)

\(\frac{4}{3}\cdot \lim \:_{x\to \:0}\left(\frac{1}{x}\ln \left(1-3x\right)\right)\)

\(=\frac{4}{3}\cdot \lim \:_{x\to \:0}\left(\frac{\ln \left(1-3x\right)}{x}\right)\)

Aplicando L'hospital:

\(=\frac{4}{3}\cdot \lim \:_{x\to \:0}\left(\frac{-\frac{3}{1-3x}}{1}\right)\)

\(\frac{4}{3}\cdot \lim \:_{x\to \:0}\left(\frac{3}{3x-1}\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{3\cdot \:0-1}=-4\)

Assim:

\(\)\(=\lim _{x\to \:0}\left(e^{\frac{4}{3x}\ln \left(1-3x\right)}\right)=\boxed{\lim _{x\to \:0}e^{-4}=\frac{1}{e^4}}\)