Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre movimento uniforme (MU) e movimento uniformemente variado (MUV) para calcular o tempo que o artilheiro do canhão deve esperar para atingir o tanque. Para isso, serão utilizadas as funções de posição (MU e MUV, respectivamente) apresentadas a seguir:

\(\rightarrow s=s_{0}+vt\)

\(\rightarrow s=s_{0}+v_{0}t+{a\over2}t^2\)

Sabendo que a velocidade inicial do projétil é de \(v_{0}=280 \space \mathrm {m/s}\) a um ângulo de \(\theta=20^{\circ}\) em relação a horizontal, é possível encontrar os componentes horizontal (eixo x) e vertical (eixo y) dessa velocidade através das seguintes equações:

\(\rightarrow v_{o,x}=v_{0}\cos\theta\)

\(\rightarrow v_{o,y}=v_{0}\sin\theta\)

Portanto, os valores de \(v_{o,x}\) e \(v_{o,y}\) são:

\(\rightarrow v_{o,x}=280\cos20^{\circ}\rightarrow v_{o,x}=263,11 \space \mathrm {m/s}\)

\(\rightarrow v_{o,y}=280\sin20^{\circ}\rightarrow v_{o,y}=95,77 \space \mathrm {m/s}\)

Agora, considerando que o projétil foi lançado no instante \(t=0\), é necessário calcular o tempo que ele precisa para atingir a planície. Considerando como referencial a planície onde está o tanque, o projétil está a uma altura inicial de \(s_{0,y}=80 \space \mathrm m\). Portanto, a altura final do projétil é de \(s_{y}=0 \space \mathrm m\).

Como pôde ser visto, foi adotado como sentido positivo o sentido de baixo para cima. Portanto, a aceleração da gravidade \(g=9,81 \space \mathrm {m/s^2}\) está no sentido negativo em relação ao referencial. Então, o valor da aceleração \(a_{y}\) na vertical é:

\(\rightarrow a_y=-g\)

\(\rightarrow a_y=-9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

A equação para a posição no eixo vertical (eixo y) é:

\(\rightarrow s_{y}=s_{0,y}+v_{0,y}t+{a_{y}\over2}t^2\)

Substituindo os termos conhecidos, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\rightarrow 0=80+95,77t+{-9,81\over2}t^2\)

\(\rightarrow {-4,905}t^2+95,77t+80=0\)

A equação anterior está apresentada na forma de Bhaskara. Portanto, sendo \(t_{proj}\) o tempo que o projétil precisa para atingir a planície, seu valor pode ser encontrado da seguinte forma:

\(\rightarrow t_{proj} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\rightarrow t_{proj} = {-95,77 \pm \sqrt{95,77^2-4 \space (-4,905) \space (80)} \over 2 \space (-4,905)}\)

Considerando que o tempo não pode ser menor do que zero, o valor de \(t_{proj}\) é:

\(\rightarrow t_{proj} = {-95,77 - {103,64} \over -9,81}\)

\(\rightarrow t_{proj} = {-95,77 - {103,64} \over -9,81}\)

\(\rightarrow t_{proj} = 20,33 \space \mathrm s\)

Portanto, o projétil do canhão precisa de \(20,33 \space \mathrm s\) para atingir a planície.

Agora, será utilizada a equação para a posição no eixo horizontal (eixo x), sendo \(s_{0,x}=0 \space \mathrm m\).

\(\rightarrow s_{x}=s_{0,x}+v_{x}t\)

A velocidade horizontal não varia, pois não está sujeita a nenhuma aceleração. Portanto, por todo o trajeto, o valor de \(v_{x}\) é:

\(\rightarrow v_{x}=v_{0,x}\)

\(\rightarrow v_{x}=263,11 \space \mathrm {m/s}\)

Substituindo os valores, a distância horizontal percorrida pelo projétil é:

\(\rightarrow s_{x}=s_{0,x}+v_{x} \space t_{proj}\)

\(\rightarrow s_{x}=0+263,11*20,33\)

\(\rightarrow s_{x}=5349 \space \mathrm {m}\)

\(\rightarrow s_{x}=5,35 \space \mathrm {km}\)

O enunciado diz que o tanque está inicialmente a uma distância horizontal de \(L=4,6 \space \mathrm {km}\) do canhão. Para o projétil acertar o tanque, é necessário que o alvo esteja a uma distância horizontal de \(s_{x}=5,35 \space \mathrm {km}\), conforme calculado antes. Portanto, o tanque precisa percorrer a seguinte distância:

\(\rightarrow \Delta s_{tanque}=s_{x}-L\)

\(\rightarrow \Delta s_{tanque}=5,35-4,6\)

\(\rightarrow \Delta s_{tanque}=0,75 \space \mathrm {km}\)

\(\rightarrow \Delta s_{tan}=746,4 \space \mathrm {m}\)

A equação da posição horizontal do tanque em função do tempo pode ser escrita da seguinte forma:

\(\rightarrow s_{tan}=s_{0,tan}+v_{0,tan}t+{1 \over 2}a_{tan} \space t^2\)

Sendo a posição inicial \(s_{0,tan}=0 \space \mathrm m\) e velocidade inicial \(v_{0,tan}=0 \space \mathrm {m/s}\). Além disso, o enunciado diz que a aceleração do tanque é \(a_{tan}=0,8 \space \mathrm {m/s^2}\).

O tempo \(t_{tan}\)  é o tempo necessário para o tanque atingir a posição horizontal \(\Delta s_{tan}=746,4 \space \mathrm {m}\). Portanto, o valor de \(t_{tan}\) é:

\(\rightarrow 746,4=0+0t+{1 \over 2}0,8 \space t_{tan}^2\)

\(\rightarrow t_{tan}^2={746,4*2 \over 0,8}\)

\(\rightarrow t_{tan}=43,2 \space \mathrm s\)

Finalmente, o tempo \(t_{esp}\) que o artilheiro deve esperar antes de fazer o disparo e acertar o tanque é:

\(\rightarrow t_{esp}=t_{tan}-t_{proj}\)

\(\rightarrow t=43,2-20,33\)

\(\rightarrow \fbox {$ t=22,87 \space \mathrm s $}\)