Como calcular a integral abaixo?

Para encontrar a integral da função dada , utilizaremos o método da substituição como mostrado abaixo:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{f(x)=}\int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x+1}} \\ & u=\sqrt{x+1} \\ & x={{u}^{2}}-1 \\ & dx=2udu \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x+1}}=\int_{{}}^{{}}{({{u}^{2}}-1)u2udu} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x+1}}=2\int_{{}}^{{}}{{{u}^{4}}-{{u}^{2}}}du \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x+1}}=\frac{2{{u}^{5}}}{5}-2\frac{{{u}^{3}}}{3} \\ & \int_{{}}^{{}}{x\sqrt{x+1}}=\frac{2{{(x+1)}^{5/2}}}{5}-\frac{2{{(x+1)}^{3/2}}}{3}+C \\ \end{align}\)

Portanto, o valor da integral será \(\boxed{\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^{5/2}}}}{5} - \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^{3/2}}}}{3} + C}\)