Calcule a Integral abaixo

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Neste exercício, será calculada uma dada integral através de frações parciais. A integral está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx\)

Primeiro, será realizada a divisão do numerador pelo denominador, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

Primeiro, divide-se \(3x^4\) por \(x^2\). O resultado é:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

                                                  \(\color{Blue}{3x^2}\)

Agora, multiplica-se \({3x^2}\) por \(x^2+x-2\) e o resultado é subtraido de \(3x^4+3x^3-5x^2+x-1\). O resultado é:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

   \(\underline{\color{Blue}{-(3x^4+3x^3-6x^2)}}\)               \({3x^2}\)

        \(\color{Blue}{x^2}\)

O processo será repetido até não ser mais possível realizar a divisão. Dividindo \(x^2\) por \(x^2\), o resultado é:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

   \(\underline{-(3x^4+3x^3-6x^2)}\)               \({3x^2}\color{Blue}{+1}\)

        \(x^2\)

Agora, multiplica-se \(1\) por \(x^2+x-2\) e o resultado é subtraido de \(x^2\). O resultado é:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

   \(\underline{-(3x^4+3x^3-6x^2)}\)               \({3x^2}+1\)

        \(x^2\)

    \(\underline{\color{Blue}{-(x^2+x-2)}}\)

              \(\color{Blue}{-x+2}\)

Como não é mais possível realizar divisão, o restante da expressão \(3x^4+3x^3-5x^2+x-1\) é somado ao resto \(-x+2\), conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

   \(\underline{-(3x^4+3x^3-6x^2)}\)               \({3x^2}+1\)

        \(x^2\)

    \(\underline{{-(x^2+x-2)}}\)

              \(-x+2 \color{Blue}{+x-1}\)

\(\Longrightarrow 3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \space \space |\underline{\space x^2+x-2}\)

   \(\underline{-(3x^4+3x^3-6x^2)}\)               \({3x^2}+1\)

        \(x^2\)

    \(\underline{{-(x^2+x-2)}}\)

                 \(1\)

Portanto,  a divisão de \(3x^4+3x^3-5x^2+x-1\) por \(x^2+x-2\) possui quociente igual a \({3x^2}+1\) e resto igual a \(1\), ou seja:

\(\Longrightarrow {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} = {(3x^2+1)(x^2+x-2)+1 \over x^2+x-2}\)

\(\Longrightarrow {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} = (3x^2+1)+{1 \over x^2+x-2}\)

Portanto, a integral a ser resolvida é:

\(\Longrightarrow \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx = \int ( 3x^2+1)dx+ \int {1 \over x^2+x-2} dx\)     \((I)\)

Agora, será resolvida a última integral do lado direito da equação, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \int {1 \over x^2+x-2} dx\)   \((II)\)

É necessário fatorar o denominador da expressão \((II)\). Para isso, será utilizada a Fórmula de Bhaskara. Sendo \(a=1\), \(b=1\) e \(c=-2\), os zeros do denominador são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1(-2)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over 2}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm 3 \over 2}\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=1 \\ x_2=-2 \end{matrix} \right.\)

Portanto, a expressão \((II)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int {1 \over x^2+x-2} dx\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-x_1)(x-x_2)} dx\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx\)

Agora, é possível escrever a expressão anterior da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = \int {k_1 \over (x-1)}+{k_2 \over (x+2)} dx\)   \((III)\)

É necessário definir os valores de \(k_1\) e \(k_2\) a partir da equação anterior.

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = \int {k_1(x+2) \over (x-1)(x+2)}+{k_2(x-1) \over (x-1)(x+2)} dx\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = \int {k_1(x+2) +k_2(x-1)\over (x-1)(x+2)} dx\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = \int {x(k_1+k_2)+2k_1-k_2\over (x-1)(x+2)} dx\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} k_1+k_2=0 \\ 2k_1-k_2=1 \end{matrix} \right.\)

Através do sistema de equações, os valores de \(k_1\) e \(k_2\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} k_1=-k_2 \\ 2k_1-k_2=1 \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow 2k_1-(-k_1)=1\)    \(\rightarrow k_1={1 \over 3}\)     \(\rightarrow k_2=-k_1=-{1 \over 3}\)

Substituindo os valores de \(k_1\) e \(k_2\) na expressão \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = \int {k_1 \over (x-1)}dx + \int {k_2 \over (x+2)} dx\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (x-1)(x+2)} dx = {1 \over 3}\int {1 \over (x-1)}dx - {1 \over 3} \int {1 \over (x+2)} dx\)

Substituindo a equação anterior na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx = \int ( 3x^2+1)dx+ \int {1 \over x^2+x-2} dx\)

\(\Longrightarrow \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx = \int ( 3x^2+1)dx+ {1 \over 3}\int {1 \over (x-1)}dx - {1 \over 3} \int {1 \over (x+2)} dx\)

Finalmente, o resultado da integral do enunciado é:

\(\Longrightarrow \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx = ( 3{x^3 \over 3}+x)+ {1 \over 3}\ln|x-1| - {1 \over 3} \ln|x+2| +c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int {3x^4+3x^3-5x^2+x-1 \over x^2+x-2} dx = x^3+x - {1 \over 3} \ln|x+2| + {1 \over 3}\ln|x-1| +c $}\)