Inicialmente temos \(m_v=2\ kg\) de vapor de água a \(T_v=100^oC\) e \(m_g\) de gelo a \(T_g=-20^oC\). O exercício afirma que ao final teremos massas iguais de água e gelo em equilíbrio, o que significa que todo vapor se transforma em água e atinge a temperatura de fusão da água, que é de \(T_f=0^oC\):

\(Q_v=-mL_v=-2000\cdot540=-1,08\cdot10^6cal\\ Q_{100\rightarrow0}=mc\Delta T=2000\cdot1\cdot(0-100)=-0,2\cdot10^6cal\)

Para o gelo chegar à temperatura de fusão da água, basta que a temperatura varie:

\(Q_{-20\rightarrow0}=mc\Delta T=m_g\cdot0,5\cdot(0-(-20))=10m_g\)

Lembrando que a massa total contida no sistema é:

\(M = 2000+m_g\Rightarrow {M\over2}=1000+{m_g\over2}\)

Sabemos que metade dessa massa será gelo e metade água ao final. Sabemos ainda que para a mesma quantidade de gelo e vapor, o vapor doa muito mais calor que o gelo recebe para chegar ao ponto de fusão, já que há uma transformação de fase para o vapor, de forma que deve haver mais gelo do que vapor inicialmente para que o calor necessário se iguale para os dois, o que significa que parte do gelo inicial deve se transformar em água para que metade esteja em cada estado ao final do preocesso:

\(Q_f = \left(m_g-{M\over2}\right)L_f=\left({m_g\over2}-1000\right)\cdot80=40m_g-0,08\cdot10^6\)

Somando todo o calor envolvido no processo, temos:

\(Q_v+Q_{100\rightarrow0}+Q_{-20\rightarrow0}+Q_f=0\)

Substituindo as expressões calculadas, temos:

\(-1,08\cdot10^6-0,2\cdot10^6+10m_g+\left(40m_g-0,08\cdot10^6\right)=0\)

Resolvendo a equação, obtemos a massa procurada:

\(50m_g=1,36\cdot10^6\Rightarrow \boxed{m_g=27200\ g=27,2\ kg}\)