Calculo 3

boa pergunta

Vamos achar a segunda solução da seguinte equação diferencial:

\(y''+16y=0 \leftrightarrow y''+P(t)y'+Q(t)y=0\)

Dada a primeira:

\(y_1(t)=cos(4t)\)

E a expressão a ser utilizada para determiná-la:

\(y_2(t)=y_1(t)\int {e^{-\int P(t)dt}\over [y_1(t)]^2}dt\)

Vamos começar por determinar o expoente:

\(E(t) = -\int 0\ dt = C\)

Substituindo na expressão, temos:

\(y_2(t)=y_1(t)\int{e^C\over[y_1(t)]^2}dt\)

Substituindo a primeira solução, temos:

\(y_2(t)=e^Ccos(4t)\int {1\over cos^2(4t)}dt=e^Ccos(4t)\int {sec^2(4t)}dt\)

Integrando e fazendo \(A={1\over4}e^C\), temos:

\(y_2(t)=Acos(4t)tg(4t)+B\)

Logo, sendo \(A\) e \(B\) constantes, temos:

\(\boxed{y_2(t)=Asen(4t)+B}\)

Obrigada.