Mostre que se c ≤ a < b, então a − c < b − c.

Sabemos que a<b e como c<=a sabemos que a-c e b-c não vai alterar o sinal da desiguldade. Portanto, em a<b podemos subtrair o c dos dois lados que a desiguldade não vai ser alterada.
Então:
a-c<b-c

Sabemos que a<b e como c<=a sabemos que a-c e b-c não vai alterar o sinal da desiguldade, ou seja, essa operação não vai resultar em algo negativo, pois está subtraindo algo menor de algo maior.  

Portanto, em a<b podemos subtrair o c dos dois lados que a desiguldade não vai ser alterada.

Então:
a-c<b-c