Cálculo: Tangente horizontal

Para uma tangente horizontal, o valor da sua inclinação é zero, logo, a derivada de f(x) tem que ser igualada a zero para encontrar esses pontos.

Observe que f(x) é uma função racional, logo nao se esqueça de utilizar a regra do quociente para derivar.

Neste exercício, tem-se a seguinte curva:

\(\Longrightarrow f(x) = {x+1 \over x^2 + x + 1}\)

Para qualquer ponto \((x,y)\), a inclinação da reta tangente possui a seguinte equação:

\(\Longrightarrow f'(x) = \Big ({x+1 \over x^2 + x + 1} \Big )'\)

\(\Longrightarrow f'(x) = {(x+1)'(x^2 + x + 1) - (x+1)(x^2 + x + 1)' \over (x^2 + x + 1)^2}\)

\(\Longrightarrow f'(x) = {1\cdot(x^2 + x + 1) - (x+1)(2x + 1) \over (x^2 + x + 1)^2}\)

\(\Longrightarrow f'(x) = {(x^2 + x + 1) - (2x^2+x+2x+1) \over (x^2 + x + 1)^2}\)

\(\Longrightarrow f'(x) = {x^2 + x + 1 - 2x^2-3x-1 \over (x^2 + x + 1)^2}\)

\(\Longrightarrow f'(x) = {-x^2 -2 x \over (x^2 + x + 1)^2}\)

O exercício quer os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal, ou seja, \(f'(x)=0\). Portanto, os valores correspondentes de \(x\) são:

\(\Longrightarrow {-x^2 -2 x \over (x^2 + x + 1)^2}=0\)

\(\Longrightarrow -x^2 -2 x=0\)

\(\Longrightarrow x^2 =-2 x\)   \(\to \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0 \\ x_2 = -2 \end{matrix} \right.\)

E os valores correspondentes de \(y\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = {x_1+1 \over x_1^2 + x_1 + 1} \\ y_2 = {x_2+1 \over x_2^2 + x_2 + 1} \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = {0+1 \over 0^2 + 0 + 1} \\ y_2 = {(-2)+1 \over (-2)^2 + (-2) + 1} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = {1 \over 1} \\ y_2 = {-1 \over 4-2+1} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = 1 \\ y_2 = -{1 \over 3} \end{matrix} \right.\)

Concluindo, os pontos da curva \( f(x) = {x+1 \over x^2 + x + 1}\) nos quais a tangente é horizontal são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} (x_1,y_1) = (0,1) \\ (x_2,y_2) = (-2,-{1 \over 3}) \end{matrix} \right. $}\)