Questão resolvida - Reta tangente e normal - traçar gráficos - cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere uma função real definida em toda reta R, determine a f x =( )
5
1 + ex
equação da reta tangente e da reta normal à essa curva no ponto P(0, ), esboçe o 
5
2
gráfico dessas curvas (f(x), reta tangente e reta normal).
 
Resolução:
 
Reta tangente
 
A inclinação (que é o mesmo que o coeficiente angular) da reta é dada pelo valor da 
derivada da curva no ponto;
Antes de fazer a derivada, vamos reescrever a função como: f x = 5 ⋅ 1 + e( ) x
-1
Derivando como uma função composta;
 
f' x = - 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + e ⋅ 2x f' x = -( ) x
-1-1( )
→ ( )
10e
1 + e
x
x 2
No ponto P o valor da derivada é: 
f' 0 = - f' 0 = - f' 0 = - f' 0 = -( )
10 ⋅ e
1 + e
0
0 2
→ ( )
10
1 + 1( )2
→ ( )
10
2( )2
→ ( )
10
4
f' 0 = -( )
5
2
Assim, temos o coefiente angular da reta tangente, sua equação é: y = - x + b
5
2
Para achar o coeficiente angular b substituimos o ponto → 0,
5
2
= - ⋅ 0 + b = 0 + b
5
2
5
2
→
5
2
, com isso, a equação da reta tangente fica:b =
5
2
 
Equação da reta tangente : y = - x+ 
5
2
5
2
 
 
 
(Resposta - Reta tangente)
Reta normal
 
Existe uma relação entre o coeficiente ângular da reta tangente e da reta normal dada por:
m' = -
1
m
Já conhecemos o coeficiente ângular m da reta tangente, com isso, o coeficiente angular da 
rela norma é: m' = - m' = - ⋅- m' =
1
-
5
2
→
1
1
2
5
→
2
5
Dessa forma, a equação da reta normal fica: y = x + b
2
5
Para saber o valor de b é preciso os valores do ponto (0, ) na equação da reta normal;
5
2
 
= ⋅ 0 + b = 0 + b b =
5
2
2
5
→
5
2
→
5
2
 Finalmente, a reta normal à curva é : y = x+ 
2
5
5
2
 
Como a função não tem restição em R, para traçar o gráfico atribuimos alguns valores para x 
e obtemos o y corespondente e formaos os pontos serem traçados, como na sequência;
f -10 = = 5 ponto -10; 5( )
5
1 + e-10
→ ( )
 
f -6 = ≅ 4, 99 ponto -6; 4, 99( )
5
1 + e-10
→ ( )
 
f -2 = = 4, 4 ponto -2; 4, 4( )
5
1 + e-2
→ ( )
 
f 0 = = ponto 0;( )
5
1 + e0
5 
2
→
5 
2
 
f 2 = = 0, 6 ponto 2; 0, 6( )
5
1 + e2
→ ( )
 
f 6 = ≅ 0, 01 ponto 6; 0, 01( )
5
1 + e6
→ ( )
 
 
(Resposta - Reta normal)
 
f 10 = ≅ 0 ponto 10; 0( )
5
1 + e10
→ ( )
 
Traçando esses pontos em um eixo coordenado, fica:
Ligando os pontos, o gráfico de fica:f x =( )
5
1 + ex
 
 
O ponto P(0, ) é comun a reta tangente e reta normal, para construir uma reta são preciso 
5
2
2 pontos, assim, vamos encontrar os outros pontos fazendo nas equações da reta y = 0
tangente e reta normal;
0 = - x + - x = - x = x = 1 ponto 1; 0
5
2
5
2
→
5
2
5
2
→
-
-
5
2
5
2
→ → ( )
0 = x + x = - x = x = - ⋅ x = - = - 6, 25 ponto -6, 25; 0
2
5
5
2
→
2
5
5
2
→
-
5
2
2
5
→
5
2
5
2
→
25
4
→ ( )
Ligando os pontos, tudo em um mesmo plano cartesiano, os gráficos (f(x), reta tangente e 
reta normal) ficam: