Cálculo 1 - capitulo 05 Retas Tangentes - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 5
Retas Tangentes
5.1 Conceituac¸a˜o
No Cap´ıtulo Alguns Problemas do Ca´lculo, vimos que a reta tangente tem um importante significado f´ısico e geome´trico
e que portanto, e´ necessa´rio saber defini-la e determinar a sua equac¸a˜o.
O problema que temos e´ o seguinte: considere uma func¸a˜o f e P0 = (x0, f(x0)) um ponto qualquer do seu gra´fico.
Em primeiro lugar, desejamos definir sem ambigu¨idades o que entendemos por reta tangente ao gra´fico de f, passando
por P0.
Como ja´ discutimos, embora a ide´ia geome´trica de reta tangente seja bastante intuitiva, existem dificuldades
para chegarmos a uma definic¸a˜o conceitual. Procurando atingir este objetivo, vamos usar o Maple para observar o
comportamento da curva, nas proximidades do ponto de tangeˆncia, numa escala microsco´pica. Nesse sentido, vamos
trac¸ar va´rios gra´ficos de uma mesma func¸a˜o dando “zooms” sucessivos em torno do ponto de tangeˆncia, isto e´, vamos
usar o Maple como um microsco´pio para observar a regia˜o do gra´fico marcada pelo quadradinho, aumentando, a cada
passo, a poteˆncia da lente usada.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
2
3
4
5
6
–4 –3 –2 –1
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
–3 –2.6 –2.2 –2–1.8 –1.4 –1
3.6
3.8
4
4.2
4.4
–2.4 –2.2 –2 –1.8 –1.6
Os gra´ficos a seguir mostram esta mesma te´cnica usada com a func¸a˜o cu´bica f(x) = x3, nas proximidades do ponto
(0, 0).
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
–0.2
–0.1
0
0.1
0.2
y
–0.2 –0.1 0.1 0.2
x
57
58 Cap. 5. Retas Tangentes
Pela ana´lise dos exemplos acima, parece razoa´vel, e vamos definir reta tangente a uma curva em um ponto dado
como a reta que se confunde com a curva pro´ximo ao ponto de tangeˆncia. Levando em conta esta definic¸a˜o e´ poss´ıvel
garantir a existeˆncia da reta tangente em qualquer ponto de uma dada curva?
Para responder a esta pergunta, observe o que acontece com a func¸a˜o f(x) = |x |, para valores de x pro´ximos de
x0 = 0.
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–0.1
0.1
0.2
0.3
–0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3
x
Veja que por mais que aumentemos a escala usada para trac¸ar este gra´fico, a figura continua sempre a mesma, isto
e´, sempre conseguiremos distinguir qualquer reta que passe pela origem do gra´fico da func¸a˜o mo´dulo. Neste caso, e de
acordo com a definic¸a˜o a que chegamos acima, na˜o existe reta tangente a` curva y = |x | no ponto (0, 0). O problema
surge porque, neste ponto, a curva forma um “bico”, o que torna imposs´ıvel a existeˆncia de uma reta que se confunda
com o gra´fico da func¸a˜o neste ponto. De um modo geral, existe uma u´nica reta tangente a uma dada curva em todos
os pontos onde esta curva e´ “suave”, ou seja, onde na˜o existam “bicos”.
5.2 Declividade
Uma vez que chegamos a uma definic¸a˜o aceita´vel de reta tangente, o problema que se po˜e agora e´: conhecendo-se o
ponto de tangeˆncia, P0 = (x0, y0), como determinar a equac¸a˜o da reta tangente a` curva nesse ponto?
Em primeiro lugar, qualquer que seja a equac¸a˜o da reta tangente, ela deve conter o ponto P0. Veja o gra´fico a
seguir.
–4
–2
2
4
x
Como qualquer reta na˜o vertical passando por P0 tem uma equac¸a˜o da forma y − y0 = m (x− x0), a equac¸a˜o da
reta tangente que passa por ( xo, f(xo)) e´ y − f(x0) = m (x− x0) onde m e´ a sua declividade. O problema, portanto,
se resume em determinar o coeficiente angular dessa reta. Como na˜o temos dados para calcular tal coeficiente, a ide´ia
e´ aproximar o seu valor pelo coeficiente angular de uma reta que podemos determinar e que esta´ pro´xima da reta
tangente. Neste caso, a reta secante que passa por P0 = (x0, f(x0)) e por P1 = (x0 + h, f(x0 + h)), um outro ponto
qualquer da curva.
Observe a animac¸a˜o abaixo, para concluir que a` medida que o ponto P1 se aproxima do ponto P0, a reta secante
que passa por estes dois pontos se aproxima da reta tangente.
2.33
3.50
2.38
5.
2.43
2.502.602.75
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
10.
4.2.0
3.
W.Bianchini, A.R.Santos 59
Portanto, podemos aproximar a declividade da reta tangente pela declividade da reta secante, e esta aproximac¸a˜o
pode ser melhorada cada vez mais, bastando para isso considerarmos o ponto P1 cada vez mais pro´ximo do ponto P0.
Repare que a declividade da reta secante que passa por P1 e por P0 e´ dada por
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Logo, para h suficientemente pequeno (se h e´ pequeno, o ponto P1 estara´ bastante pro´ximo de P0), podemos tomar
a raza˜o acima como uma aproximac¸a˜o para a declividade m da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = f(x) no ponto
P0.
Essa ide´ia foi usada por Fermat em 1629, quando, desse modo, ele encontrou uma maneira de construir tangentes
a uma para´bola. Embora Fermat tenha deduzido o seu me´todo para para´bolas, ele pode ser aplicado a outras curvas
planas.
Para ilustrar como funciona o Me´todo de Fermat, vamos executa´-lo, passo a passo, com a ajuda do Maple, no caso
particular em que f(x) = −x2 + 5x e P0 e´ o ponto ( 1, 4 ).
1. Primeiro, defina a func¸a˜o y = f(x) e o ponto P0 :
> f:=x -> -x^2 + 5*x;
f := x→ −x2 + 5x
> p0 := [ x0, f(x0) ];
p0 := [1, 4]
2. Determine um outro ponto qualquer do gra´fico. Chame este ponto, por exemplo de P1:
> x1:=x0+h;
x1 := 1 + h
> p1 := [ x1, f(x1) ];
p1 := [1 + h, −(1 + h)2 + 5 + 5h]
3. Determine o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos P0 e P1. Para isso, podemos usar o
comando slope do pacote student :
> m := slope( p0, p1 );
m := −−1 + (1 + h)
2 − 5h
h
Repare que no quociente acima temos necessariamente h 6= 0. Esta restric¸a˜o alge´brica se traduz geometricamente
pelo fato de serem necessa´rios dois pontos distintos para se determinar uma reta (se h = 0 o ponto P1 coincidiria
com o ponto P0!).
4. Agora, basta estudar o comportamento de m quando h tende a zero, isto e´, quando o ponto P1 se aproxima
do ponto P0. Para isso definimos uma sequ¨eˆncia de valores positivos de h que se aproximam de zero (dessa
maneira estamos escolhendo o ponto P1 a` direita de P0 e fazendo este ponto se aproximar cada vez mais de P0)
e calculamos, para cada h, os respectivos valores de m.
> valores_h := evalf([seq( 1/10^i, i=0..5)]);
valores h := [1., .1000000000, .01000000000, .001000000000, .0001000000000,
.00001000000000]
> seq( evalf (m), h=valores_h );
2.000000000, 2.900000000, 2.990000000, 2.999000000, 2.999900000, 3.000000000
A lista de valores acima sugere que quando h→ 0 o coeficiente angular m parece se aproximar de 3.
5. Repita o procedimento acima para h negativo, isto e´, tome agora pontos a` esquerda de P0.
> valores_h := evalf([seq( -1/10^i,i=0..5)]);
60 Cap. 5. Retas Tangentes
valores h := [−1., −.1000000000, −.01000000000, −.001000000000, −.0001000000000,
−.00001000000000]
> seq( evalf (m), h=valores_h );
4.000000000, 3.100000000, 3.010000000, 3.001000000, 3.000100000, 3.000010000
Nesse caso e´ poss´ıvel afirmar que a` medida que h se aproxima de zero, quer por valores maiores que zero, quer por
valores menores que zero, os valores do quociente m, isto e´, a declividade da reta secante a` curva que passa por P1
e P0, se aproximam de 3. Ale´m disso, esses valores podem se aproximar arbitrariamente de 3, bastando para isso
que escolhamos h suficientemente pro´ximo de zero. Esta u´ltima afirmac¸a˜o equivale a dizer que podemos tornar a reta
secante arbitrariamente pro´xima da reta tangente, bastando para isso escolher o ponto P1 suficientemente pro´ximo
do ponto de tangeˆncia P0. Para ilustrar essa situac¸a˜o, trac¸amos abaixo o gra´fico da reta secante em conjunto com o
gra´fico da func¸a˜o, para valores de h cada vez mais pro´ximosde zero.
2
4
6
8
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
x
No exemplo acima, vimos que a declividade da reta secante que passa pelos pontos P0 = (x0, f(x0)) e P1 =
(x0 + h, f(x0 + h)) e´ dada por
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
para h 6= 0, ou equivalentemente,
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
onde x = x0 + h e x 6= x0. Quando o ponto P1 se aproxima do ponto P0, a declividade da secante se aproxima da
declividade da reta tangente. E´ claro que, quando o ponto P1 se aproxima de P0, x se aproxima de x0. O problema
enta˜o e´ descobrir o que acontece com o quociente f(x)−f(x0)x−x0 quando x se aproxima de x0. Na sec¸a˜o abaixo estudaremos
este problema para o caso de uma para´bola geral.
5.3 O problema da tangente a` para´bola
Na sec¸a˜o anterior calculamos a inclinac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = −x2 + 5x num ponto particular. Vamos
tentar resolver este problema no caso geral.
Considere a para´bola y = a x2 + b x+ c e um ponto (x0, f(x0)) do seu gra´fico. Como vimos na sec¸a˜o anterior, um
bom me´todo para determinar a declividade da reta tangente a esta para´bola no ponto dado e´ estudar o que acontece
com a declividade das secantes que passam pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)) a` medida que x se aproxima de x0,
isto e´, precisamos estudar o comportamento do quociente
mx =
f(x)− f(xo)
x− x0
quando x se aproxima de x0. Repare mais uma vez que este quociente na˜o esta´ definido em x = x0 e que, portanto, na˜o
adianta substituirmos, na expressa˜o acima, x por x0, porque isso resultaria numa expressa˜o sem significado. Devemos
pensar que x chega muito perto de x0, mas permanece distinto dele.
No exemplo particular da sec¸a˜o anterior, vimos que e´ fa´cil usar o Maple para gerar uma sequ¨encia de valores para
esse quociente e enta˜o, a partir desses valores, tentar tirar concluso˜es sobre o seu comportamento. Nesse caso geral,
vamos tentar encontrar para esse problema uma soluc¸a˜o que se aplique quaisquer que sejam os valores de a, b e c dos
coeficientes da para´bola e qualquer que seja o ponto (x0, f(x0)) dado.
W.Bianchini, A.R.Santos 61
Assim, calculando e simplificando a raza˜o acima, temos que
> mx:=(a*x^2+b*x+c-(a*x0^2+b*x0+c))/(x-x0);
mx :=
a x2 + b x− a x0 2 − b x0
x− x0
> mx:=collect(mx,[a,b]);
mx :=
(x2 − x0 2) a
x− x0 + b
> mx:=simplify(mx);
mx := a x0 + b+ a x
> mx:=collect(mx,a);
mx := (x0 + x) a+ b
Repare que, conhecidos os valores de a, b e x0, a expressa˜o acima depende somente de x, definindo mx como func¸a˜o
de x. Vamos, enta˜o, estudar o comportamento da func¸a˜o mx a` medida que x se aproxima de x0. (Repare, mais uma
vez, que todos os ca´lculos que foram feitos valem somente para x 6= x0 e que, portanto, esta func¸a˜o na˜o esta´ definida
para x = x0).
Primeiro definimos a func¸a˜o mx, como se segue
> mx:=x->a*(x+x0)+b;
mx := x→ a (x+ x0 ) + b
e a seguir, fazemos x se aproximar de x0:
> x_valores:=[seq(x0+h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001])];
x valores := [x0 + .1, x0 + .01, x0 + .001, x0 + .0001, x0 + .00001]
Nesta primeira sequeˆncia que geramos, x se aproxima de x0 pela direita, isto e´, por valores maiores que x0. Observe,
agora, o que acontece com os correspondentes valores de mx.
> map(mx,x_valores);
[a (2 x0 + .1) + b, a (2 x0 + .01) + b, a (2 x0 + .001) + b, a (2 x0 + .0001) + b,
a (2 x0 + .00001) + b]
Na sequeˆncia a seguir, x se aproxima de x0 pela esquerda, isto e´, por valores menores que x0.
> x_valores:=[seq(x0-h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001])];
x valores := [x0 − .1, x0 − .01, x0 − .001, x0 − .0001, x0 − .00001]
Observe, novamente, o que acontece com os correspondentes valores de mx.
> map(mx,x_valores);
[a (2 x0 − .1) + b, a (2 x0 − .01) + b, a (2 x0 − .001) + b, a (2 x0 − .0001) + b,
a (2 x0 − .00001) + b]
Notamos que, a` medida que x se aproxima de x0, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de mx se
aproximam de 2 a x0 + b; mais do que isso, os valores de mx podem ficar ta˜o pro´ximos de 2 a x0 + b quanto quisermos,
bastando para isso que x esteja suficientemente pro´ximo de x0. (Veja este resultado animado graficamente na versa˜o
eletroˆnica.)
Matematicamente, esse comportamento se traduz pela expressa˜o,
lim
x→x0
mx = 2 ax 0 + b.
(Leˆ-se: limite de mx quando x tende a x0 e´ 2 a x0 + b.)
Assim, para calcular a declividade da reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto (x0, f(x0)) do seu
gra´fico, basta estudar o comportamento do quociente mx =
f(x)−f(x0)
x−x0 quando x se aproxima de x0, ou, em linguagem
matema´tica, e´ preciso calcular o valor de
m = lim
x→x0
mx.
62 Cap. 5. Retas Tangentes
O valor desse limite que representa, geometricamente, a declividade da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto
(x0, f(x0)), e´ usualmente denotado por f
′(x0) (leˆ-se: f linha de x0) para enfatizar a sua dependeˆncia da func¸a˜o f e do
ponto x0 e define, como veremos adiante, a partir da func¸a˜o f , uma nova func¸a˜o, chamada derivada de f . Portanto,
para calcularmos a declividade de retas tangentes a curvas e, consequ¨entemente, estudarmos a derivada de uma func¸a˜o,
e´ preciso conhecer um pouco mais sobre a teoria dos limites, o que faremos no pro´ximo cap´ıtulo.
Exerc´ıcio
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto (a, f(a)). (Observe algumas destas retas trac¸adas
no gra´fico a seguir.)
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
(b) Os gra´ficos trac¸ados no item anterior parecem sugerir que cada reta tangente intercepta o gra´fico da para´bola em
um u´nico ponto. Prove, analiticamente, este fato, isto e´, mostre que a reta tangente a` para´bola y = x2, cuja
equac¸a˜o voceˆ achou no item anterior, intercepta o gra´fico desta curva no ponto (a, a2), sendo este o u´nico ponto
de intersec¸a˜o destas duas curvas.
Observac¸a˜o: Neste sentido, a para´bola e´ uma curva muito especial. Em geral, a reta tangente a uma curva
intercepta o seu gra´fico em mais de um ponto, como mostra o gra´fico seguinte.
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–4 –2 2 4x
5.4 Uma nota histo´rica: A falha lo´gica no racioc´ınio de Fermat ou o
porqueˆ de limites
Vamos calcular a declividade da reta tangente a` curva y = x5 − 9x3 no ponto (1,−8), da mesma forma como Fermat
fazia este ca´lculo no in´ıcio do se´culo XVII.
Em primeiro lugar, vamos definir a func¸a˜o f e calcular o quociente mx, como se segue:
> f:=x->x^5-9*x^3;
f := x→ x5 − 9x3
mx =
f(x+ h)− f(x)
h
=
(1 + h)5 − 9 (1 + h)3 + 8
h
A seguir, Fermat simplificava a expressa˜o acima:
> simplify(m[x]);
−22− 17h+ h2 + 5h3 + h4
Essa expressa˜o fornece a inclinac¸a˜o da reta que corta a curva nos pontos (1, f(1)) e (1+h, f(1+h)). Para Fermat,
a declividade da reta tangente a` curva y = f(x) era o resultado do ca´lculo do valor dessa u´ltima expressa˜o em h = 0.
Seguindo os passos de Fermat ter´ıamos:
> subs(h=0,%);
W.Bianchini, A.R.Santos 63
−22
Esse processo pode ser generalizado para obter a declividade da reta tangente a` curva y = f(x) em um ponto
(x0, f(x0)) arbitra´rio. Seguindo os mesmos passos anteriores, temos:
> m:=(f(x[0]+h)-f(x[0]))/h;
m :=
(x0 + h)
5 − 9 (x0 + h)3 − x05 + 9x03
h
> simplify(m);
5x0
4 + 10x0
3 h+ 10x0
2 h2 + 5x0 h
3 + h4 − 27x02 − 27x0 h− 9h2
> subs(h=0,%);
5x0
4 − 27x02
Durante toda a sua vida e por um se´culo e meio apo´s a sua morte, o racioc´ınio de Fermat foi atacado por todos
os matema´ticos por conter uma falha lo´gica. A dificuldade era e continua sendo real. A falha do racioc´ınio de Fermat
estava na substituic¸a˜o de h por zero somente apo´s uma simplificac¸a˜o do quociente das diferenc¸as. Qualquer tentativa
de se fazer tal substituic¸a˜o antes de se cancelar o h que aparece no denominador da frac¸a˜o resulta numa expressa˜o
sem sentido matema´tico,do tipo 00 . Da maneira como Fermat fazia a conta, h valia zero quando ele queria que assim
o fosse, mas na˜o era zero quando este valor atrapalhava a prova. Mais especificamente, a igualdade
(x+ h)5 − 9 (x+ h)3 − x5 + 9x3
h
= 5x4 + 10x3 h+ 10x2 h2 + 5xh3 + h4 − 27x2 − 27xh− 9h2
so´ e´ verdadeira para valores de h 6= 0 . Fermat na˜o permitia que h fosse zero no lado esquerdo da igualdade, mas,
ainda assim, substitu´ıa h por zero no lado direito da mesma igualdade, o que consistia em uma clara contradic¸a˜o
matema´tica no seu racioc´ınio!
Com o desenvolvimento da Teoria dos Limites esse impasse lo´gico foi superado. No entanto, isso so´ veio a acontecer
no final do se´culo XIX, quando a ide´ia de limite deixou de ser obscura e nebulosa e foi definida com rigor e precisa˜o
pelo matema´tico alema˜o Karl Weierstrass (1815-1897). (Veja o pro´ximo cap´ıtulo).
Por enquanto, para entender como e´ poderosa a ide´ia de limite, tente calcular a declividade da reta tangente a`
curva y = sen(x) no ponto x = 1 da mesma maneira como Fermat o fazia e depois calcule esta mesma declividade
empregando o me´todo de aproximac¸a˜o do quociente de diferenc¸as para pequenos valores de h que empregamos para
ca´lculos semelhantes por todo este cap´ıtulo. A que concluso˜es voceˆ pode chegar?
5.5 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo Lab1 4.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
5.6 Exerc´ıcios
1. (a) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = 2x2 + 4x+ 5 no ponto (−1, 3).
(b) Encontre os pontos onde a inclinac¸a˜o da reta tangente a` para´bola do item anterior e´ horizontal.
2. Nos itens abaixo, ache todos os pontos da curva y = f(x) nos quais a reta tangente e´ horizontal.
(a) f(x) = 10− x2
(b) f(x) = x2 − 2x+ 1
(c) f(x) = 2x2 − 3x+ 4
(d) f(x) = x− x210
(e) f(x) = 2x (x+ 3)
3. (a) Esboce va´rios gra´ficos de para´bolas para comprovar que o seu ve´rtice e´ o u´nico ponto do gra´fico onde a
tangente e´ horizontal.
(b) Use o fato acima e a fo´rmula da declividade da tangente a uma func¸a˜o quadra´tica, encontrada neste cap´ıtulo,
para demonstrar que o ve´rtice da para´bola y = a x2 + b x+ c e´ o ponto de coordenadas (− b2 a , − ∆4 a ).
4. Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = 2x2 + 1 que e´ paralela a` reta 8x+ y − 2 = 0.
5. Seja f(x) = ax 2 + bx + c. Usando a fo´rmula f ′(x0) = 2 a x0 + b, deduzida neste cap´ıtulo, calcule f ′(x0) para
cada uma das func¸o˜es dadas abaixo:
64 Cap. 5. Retas Tangentes
(a) f(x) = 2
(b) f(x) = 4x− 5
(c) f(x) = 2x2 − 3x+ 4
(d) f(x) = (2x+ 1)2 − 4x
(e) f(x) = 2x (x+ 3)
(f) O valor encontrado nos itens (a) e (b) e´ coerente com o significado geome´trico de f ′(x0)?
5.7 Problemas propostos
1. Ache as dimenso˜es de um retaˆngulo de per´ımetro igual a 100 cm, de tal modo que a sua a´rea seja ma´xima.
2. Dada uma curva no plano definida por uma func¸a˜o y = f(x) e um ponto (a, b) que na˜o pertence a esta curva,
deve existir um ponto (x0, f(x0)) da curva que esta´ mais perto do ponto (a, b). Veja a animac¸a˜o correspondente
ao caso da curva y = x2 e do ponto (3, 0), na versa˜o eletroˆnica deste texto.
Intuitivamente, o segmento que une o ponto (a, b) ao ponto (x0, f(x0)) deve ser perpendicular ou normal ao
gra´fico da curva neste ponto. Definimos reta normal ao gra´fico de uma curva em um ponto (x0, y0) como sendo
a reta perpendicular a` reta tangente a` curva naquele ponto.
(a) Qual a declividade da reta normal a uma curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0))?
(b) Escreva a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva y = x2 no ponto (1, 1).
(c) Escreva a equac¸a˜o da reta normal a` curva y = x2 no ponto gene´rico (x0, f(x0)).
(d) Use o item anterior para determinar o ponto da curva y = x2 mais pro´ximo do ponto (3, 0).
3. Considere a para´bola y = ax 2 + bx + c e P (x0, y0) um de seus pontos. Podemos trac¸ar a reta tangente a` para´bola
que passa por P da seguinte forma:
Sejam P1 e P2 dois pontos da para´bola com abscissas x0 − 1 e xo + 1, respectivamente. A tangente procurada e´
a reta paralela a` reta que passa por P1 e P2 e que conte´m P. Veja o gra´fico:
xo xo+1xo–1
Use a fo´rmula deduzida neste cap´ıtulo para a declividade de tangentes a para´bolas e demonstre que a construc¸a˜o
geome´trica anterior e´ correta.
4. No gra´fico seguinte, identifique:
(a) os pontos onde a declividade da reta tangente ao gra´fico e´ zero.
(b) o ponto onde a reta tangente corta este gra´fico.
(c) os intervalos onde a declividade da reta tangente e´ positiva e os intervalos onde ela e´ negativa.
b c
a
–20
–10
0
10
20
y
–4 –2 2 4x
(d) O sinal da declividade da reta tangente nos fornece alguma informac¸a˜o a respeito do comportamento da
func¸a˜o f? (Veja a resposta no cap´ıtulo sobre derivadas.)
5. (a) Ache as equac¸o˜es das duas retas que passam pelo ponto (0,− 14 ) e que sa˜o tangentes a` para´bola y = x2.
(b) Prove analiticamente que na˜o existe uma reta que passe pelo ponto (12 , 1) que seja tangente a` para´bola
y = x2.
W.Bianchini, A.R.Santos 65
6. O ponto P (4, 2) pertence ao gra´fico da curva y =
√
x.
(a) Se Q e´ o ponto (x,
√
x) e, portanto, tambe´m pertence ao gra´fico desta curva, ache a declividade da reta
secante a` curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):
i. 5
ii. 4,5
iii. 4,1
iv. 4,01
v. 4,001
vi. 3
vii. 3,5
viii. 3,9
ix. 3,99
x. 3,999
(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente a` curva
y =
√
x no ponto P (4, 2).
(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
√
(x) no ponto P (2, 4).
7. O ponto P ( 12 , 2) pertence ao gra´fico da curva y =
1
x .
(a) Se Q e´ o ponto (x, 1x ) e, portanto, tambe´m pertence ao gra´fico desta curva, ache a declividade da reta
secante a` curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):
i. 2
ii. 1
iii. 0,8
iv. 0,6
v. 0,5
vi. 0,55
vii. 0,555
viii. 0,45
ix. 0,49
(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente a` curva
y = 1x no ponto P (
1
2 , 2).
(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 1x no ponto P (
1
2 , 2).
5.8 Para voceˆ meditar: Matema´tica, f´ısica, fo´rmula 1 e saber popular
E´ muito dif´ıcil (e perigoso!) fazer curvas dirigindo um automo´vel em alta velocidade (pergunte ao seu professor de
f´ısica por que), por isso os pilotos de fo´rmula 1 procuram encontrar um trac¸ado o´timo para cada circuito que consiste
em suavizar as curvas, isto e´, procurar guiar mantendo o carro o maior tempo poss´ıvel em linha reta.
(a) O que esse percurso o´timo tem a ver com retas tangentes e trac¸ados de gra´ficos?
(b) Por que um circuito de pista larga e curvas suaves e´ considerado de alta velocidade, enquanto que um circuito
de rua, como o de Moˆnaco, por exemplo, e´ de baixa velocidade?
O povo usa expresso˜es e adota procedimentos comprovados empiricamente atrave´s de muitas gerac¸o˜es. Esse tipo de
conhecimento e´ mais evidente entre, por exemplo, ı´ndios e homens do campo, cuja cultura ainda na˜o foi “contaminada”
pelo saber cient´ıfico do homemmoderno. Esses procedimentos podem ser explicados ou desmistificados a` luz da Cieˆncia.
(c) Explique matema´tica e fisicamente a expressa˜o popular “sair pela tangente”.
5.9 Projetos
5.9.1 Programando o computador para trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es
(a) Como o Maple trac¸a gra´ficos
Assim como a maioria dos alunos preguic¸osos e que nunca estudaram Ca´lculo, o Maple trac¸a gra´ficos de func¸o˜es
ligando pontos por segmentos de reta.
Como voceˆ ja´ deve ter visto, o comando ba´sico para o trac¸ado de gra´ficos e´ plot( express~ao, x=a..b), onde[a,b] e´ o intervalo de variac¸a˜o de x. Veja a seguir como este comando funciona:
> f:=x->-x^2+5*x:
> plot(f(x),x=-2..6);
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
x
66 Cap. 5. Retas Tangentes
Ao receber esse comando, o Maple gera uma lista de pontos da forma (x, f(x)) e os liga por segmentos de reta. O
computador, ao contra´rio da maioria dos alunos, obte´m com esse me´todo uma boa aproximac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o
desejada porque escolhe um nu´mero muito grande de pontos no intervalo [a, b].
O comando lprint mostra a lista de pontos usada pelo Maple para trac¸ar o gra´fico acima.
> lprint(plot(f(x),x=-2..6));
PLOT(CURVES([[-2., -14.], [-1.825622766666667, -12.46101231950499],
[-1.673898068333333, -11.17142508483673], [-1.503267776666667,
-9.776152891697677], [-1.331506436666667, -8.430441574218097],
[-1.160561448333334, -7.149710117024233], [-1.002073561666667,
-6.014519231324652], [-.8379685350000001, -4.892033940650046],
[-.6682508816666668, -3.787813649181611], [-.4990775150000002,
-2.744465940978576], [-.3250619133333332, -1.730974814166593],
[-.1717888766666666, -.8884558014797285], [.7602599999998461e-3,
.3800722004731630e-2], [.1740178999999999, .8398072704795898],
[.3409837400000000, 1.588648789055612], [.4926047183333333,
2.220364183142404], [.6728967266666666, 2.911693628574618],
[.8256277066666664, 3.446477423317673], [1.003290145000000,
4.009859609945877], [1.160551506666666, 4.455877733707062],
[1.333092145000000, 4.888326057939299], [1.497391635000000,
5.244776466432026], [1.668820916666667, 5.559141331429160],
[1.826246511666667, 5.796056236958666], [1.996051283333333,
5.996035690970020], [2.172430718333333, 6.142698365708384],
[2.325969535000000, 6.219713397251883], [2.491795663333333,
6.249932688859860], [2.663110280000000, 6.223395036558322],
[2.830708209999999, 6.140632079838596], [2.992867824999999,
6.007081307079771], [3.172918429999999, 5.797180786566337],
[3.334701906666666, 5.553272727007032], [3.507440300000000,
5.235064041935910], [3.663966958333333, 4.895180919908249],
[3.835091940000000, 4.467529511747035], [3.996107211666666,
4.011663211198993], [4.164414565000000, 3.479724155815862],
[4.328965766666666, 2.904884224361414], [4.501235625000000,
2.245055973230862], [4.667151973333334, 1.553452324477437],
[4.836825403333333, .7892470343360038], [5.005093851666667,
-.2549520565813523e-1], [5.159715080000000, -.8240843067794081],
[5.336928456666667, -1.798163068245117], [5.495430213333333,
-2.722602162950178], [5.664426145000000, -3.763592827159563],
[5.826176815000000, -4.813452204643543], [6.,
-6.]],COLOUR(RGB,1.0,0,0)),AXESLABELS(x,‘‘),VIEW(-2. .. 6.,DEFAULT))
Para trac¸ar este gra´fico, o Maple usou 49 pontos!
Existe uma rotina interna que ajusta o nu´mero de pontos necessa´rios para nos dar a ilusa˜o de que o que vemos
na tela e´ uma curva. Isto e´ feito usando um nu´mero maior de pontos nas regio˜es onde o aˆngulo entre os segmentos
de reta que unem dois pontos consecutivos do gra´fico e´ muito agudo. Observe este fato no exemplo dado trac¸ando a
curva com o estilo point.
> plot(f(x),x=-2..6,style=point);
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
x
Observe tambe´m, nos exemplos abaixo, o efeito conseguido pelo uso da opc¸a˜o adaptative=false. Essa opc¸a˜o faz com
que a rotina interna para “suavizar” as curvas na˜o seja usada. Como padra˜o, o Maple usa a opc¸a˜o adaptative=true.
Essa opc¸a˜o tem prioridade sobre numpoints , isto e´, se a opc¸a˜o adaptative=false na˜o for especificada, a opc¸a˜o
numpoints, que define o nu´mero de pontos usados para trac¸ar o gra´fico, nem sempre sera´ obedecida. Observe a
diferenc¸a nos seguintes exemplos.
> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5,adaptive=false);
W.Bianchini, A.R.Santos 67
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5);
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
Na versa˜o eletroˆnica, mude o estilo do trac¸ado do gra´fico acima para point e comprove que o Maple usou muito
mais que os cinco pontos especificados para trac¸ar esse gra´fico!
Observe tambe´m, nos exemplos a seguir, quantos pontos sa˜o necessa´rios para obtermos uma “boa aproximac¸a˜o
visual” para o gra´fico dessa func¸a˜o.
> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=8,adaptive=false);
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=20,adaptive=false);
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
Por que o me´todo acima funciona?
(b) Escrevendo o nosso pro´prio programa para o trac¸ado de gra´ficos
Como vimos na sec¸a˜o anterior, o Maple e va´rios outros programas de computador trac¸am o gra´fico de uma func¸a˜o
y = f(x) num determinado intervalo [a, b], aproximando-o por segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos
do gra´fico de f , isto e´, dois pontos do tipo (xi, f(xi)), onde os xi’s formam uma subdivisa˜o do intervalo [a, b] com
x1 = a, xn = b e xi ∈ [ a, b ] para 1 ≤ i ≤ n. Vamos chamar uma aproximac¸a˜o deste tipo de uma aproximac¸a˜o poligonal
para o gra´fico de f . A esta altura, voceˆ ja´ deve saber porque a` medida em que n cresce a aproximac¸a˜o poligonal
converge para o gra´fico da func¸a˜o!
1. Usando o Maple, fac¸a o seu pro´prio programa para trac¸ar uma aproximac¸a˜o poligonal para o gra´fico da func¸a˜o
y = x2 em [−4, 4], considerando uma subdivisa˜o do intervalo com 3, 5, 9, 17 e 33 pontos, sucessivamente.
Sugesta˜o: Defina os pontos da subdivisa˜o do intervalo, calcule o valor da func¸a˜o em cada um deles e use o
comando plot([p1,p2,..pn]) para ligar por segmentos de reta os pontos pi = [xi, f(xi)] assim obtidos.
68 Cap. 5. Retas Tangentes
2. Modifique o seu programa para trac¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o qualquer y = f(x), em um intervalo [a, b] via
aproximac¸a˜o poligonal, com o nu´mero de pontos na subdivisa˜o de [a, b] determinado pelo usua´rio.
3. Teste o seu programa com as func¸o˜es y = x3, y = sen(x) e y = 1x no intervalo [−1, 1].
4. Quantas subdiviso˜es foram necessa´rias, em cada caso, para se obter uma “boa aproximac¸a˜o”? Que problema
acontece com a u´ltima dessas func¸o˜es? Voceˆ e´ capaz de resolveˆ-lo?
5. Aponte algumas deficieˆncias desse me´todo.
A ide´ia acima de aproximar curvas planas por segmentos de reta de comprimento cada vez menor e´ usada para definir
e calcular comprimentos de arcos de curvas. Um comprimento aproximado para este arco pode ser obtido somando-se
os comprimentos de cada um dos segmentos de retas usados para aproximar o arco de curva. O comprimento desses
segmentos sa˜o calculados a partir da fo´rmula para a distaˆncia entre dois pontos quaisquer do plano.
1. Usando a te´cnica descrita acima, calcule um valor aproximado para o comprimento do arco de para´bola y = x2
para 0 ≤ x ≤ 1. Como essa aproximac¸a˜o pode ser melhorada? Voceˆ e´ capaz de chegar ao resultado com 4 casas
decimais exatas?
2. Deduza uma fo´rmula para aproximar o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, b] subdividindo-o
em n subintervalos de igual comprimento.
3. Qual o valor exato para o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, b] qualquer? Se voceˆ na˜o e´
capaz de responder a esta pergunta, estude o cap´ıtulo sobre limites.
5.9.2 O refletor parabo´lico
Quando a luz e´ refletida por um espelho plano, o aˆngulo entre o raio incidente e o espelho e´ igual ao aˆngulo entre
o raio refletido e o espelho. Quando o espelho e´ curvo, a reta tangente determina como o raio e´ refletido. Pro´ximo
ao ponto de reflexa˜o, o espelho, embora curvo, se parece muito com uma reta que e´, como ja´ vimos, a reta tangente
a` curva naquele ponto, e a luz e´ refletida de tal maneira que os aˆngulos entre os raios incidente e refletido e a reta
tangente sa˜o iguais. Esta e´ a chamada propriedade de reflexa˜o das curvas. O objetivo desse projeto e´ determinar a
propriedade de reflexa˜o das para´bolas.
Seja p uma constante positiva e considere a para´bola x2 = 4py com ve´rtice na origem e o foco no ponto (0, p),
como e´ mostrado na figura abaixo. Seja (x0, y0) um ponto dessa para´bola, diferente do ve´rtice.
1. Mostre que a tangente em (x0, y0) tem coeficiente linear −y0.
2. Mostre que o triaˆngulo com ve´rtices (x0, y0), (0, y0) e (0, p) e´ iso´sceles. Sugesta˜o: Use a fo´rmula de distaˆncia
entre dois pontos do plano.
3. Suponha que uma fonte de luz seja colocada no
foco e que cada raio de luz que deixa o foco seja re-
fletido pela para´bola de tal modo que forme aˆngulos
iguais com a reta tangente. Use o item anterior para
mostrar que, apo´s a reflexa˜o, cada raio aponta verti-
calmente para cima e portanto e´ paralelo ao eixo da
para´bola. Esta e´ a chamada propriedade de reflexa˜o
das para´bolas. Veja figura ao lado. Para formar
uma ide´ia tridimensional da maneira como essa pro-
priedade e´ usada na construc¸a˜o de holofotes e faro´is
de automo´veis, temos apenas de imaginar um espelho
constru´ıdo prateando-se a parte interna da superf´ıcie
obtida a partir da rotac¸a˜o de uma para´bola ao re-
dor do seu eixo. A superf´ıcie obtida e´ chamada um
parabolo´ide de revoluc¸a˜o e o foco da para´bola sera´
tambe´m o foco do parabolo´ide. Veja a figura ao lado.
(0,-y0)
(0,p)
(x0,y0)
W.Bianchini, A.R.Santos 69
Esse refletor parabo´lico pode ser usado ao contra´rio, isto e´, para juntar raios fracos que chegam paralelos ao eixo
e concentra´-los no foco. Assim, por exemplo, se o espelho e´ apontado para o sol, todos os raios sera˜o refletidos
para o mesmo ponto , o foco do parabolo´ide, e uma grande quantidade de calor pode ser a´ı produzida (a palavra
latina “focus” significa fogo). Esse e´ o princ´ıpio ba´sico das antenas de radar, radiotelesco´pios e telesco´pios o´pticos
refletores. O grande telesco´pio do Monte Palomar, na Califo´rnia, tem um refletor de vidro de 15 toneladas que mede
aproximadamente 510 cm de diaˆmetro e levou 11 anos para ser polido.
1. Um raio de luz penetra em uma para´bola seguindo a direc¸a˜o da reta x = x0 e e´ refletido no ponto P (x0, y0).
Passa pelo foco (0, p) e e´ refletido pelo outro lado da para´bola. Qual a direc¸a˜o seguida pelo raio refletido?
2. Suponha que um raio de luz, paralelo ao eixo de uma para´bola, e´ refletido pelo exterior da mesma. Qual a
direc¸a˜o seguida pelo raio refletido?
3. O gra´fico de y =
a2
2x
e´ uma hipe´rbole com focos (a, a) e (−a, −a). Mostre que se um raio de luz emana do
primeiro foco e e´ refletido pela hipe´rbole, enta˜o o raio refletido segue a direc¸a˜o de uma reta que passa pelo
segundo foco.
70 Cap. 5. Retas Tangentes