prove que o vertice de uma parabola é dado por xv=-b/2a, yv=-delta/ 4a, utilizando derivada

Uma parábola só apresenta uma tangente horizontal, que passa pelo seu vértice. Sendo assim, queremos encontrar o ponto V(Xv, Yv) tal que f'(Xv) = 0 e f(Xv) = Yv.

Derivando uma função quadrática genérica f(x) = ax^2 + bx + c, temos sua taxa de variação f'(x) = 2ax + b. Fazendo f'(Xv) = 0, conforme já foi dito, encontramos a abscissa Xv do ponto no qual ocorre a tangente horizontal de f.

f'(Xv) = 2aXv + b = 0 => Xv = -b/2a

Substituindo o ponto encontrado acima na lei de formação da função, temos

f(Xv) = Yv = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + c

Que, com as devidas manipulações, nos dá o Yv = -Δ/4a

Seja \(y=ax^2+bx+c\), uma função do segundo grau, cujo gráfico é um parábola.

Assim, esta função possui um ponto de mínimo ou máximo. Para encontrar tal ponto, determinamos:

\(y'(x)=2ax+b\) e \(y'(x)=0\)

E isto implica que:

\(x_v=\frac{-b}{2a}\)

Agora, sabendo que \(x_v=\frac{-b}{2a}\), temos que:

\(y_v=ax^2_v+bx_v+c=a(\frac{-b}{2a})^2+b(\frac{-b}{2a})+c \\= a\frac{b^2}{4a^2}-(\frac{b^2}{2a})+c \\= \frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c \\= \frac{-b^2+4ac}{4a} \\=-\frac{\Delta}{4a}\)