Ao converter a equação polar r = 8 (sen θ + cos θ) em equação cartesiana, obtém-se?
p = 8 (sen θ + cos θ)
faça primeiro:
x = p cos Ө e y = p sen Ө
x²+y² = p² cos² Ө + p² sen² Ө = p²( sen² Ө + cos² Ө ) note que o do parenteses da 1
x²+y² = p²
com p> 0
Ainda vamos precisar de sen Ө :
y = p sen Ө = sen Ө = y / p = y /
Ainda vamos precisar de cos Ө:
Cos Ө = x/p = x/
Com tudo isso temos :
p = 8 [y/+ x/ )]
= 8 [y/+ x/ )]
=8[ (x+y)/( podemos fazer isso já que o denominadores são iguais.
/ [ (x+y)/( =8 passei o que estava multiplicando o 8 para outro lado.
Multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda temos:
. ) / x+y = 8
(x²+y²)/ (x+y) = 8 fazendo meios pelo extreme temos:
x² + y² = 8(x+y) passando para o outro lado o Segundo membro temos:
x² + y² - 8(x+y)=0
As equações que relacionam as coordenadas cartesianas com as polares estão apresentadas a seguir:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ x^2 + y^2 = r^2 \\ \theta = \arctan ({y \over x} ) \end{matrix} \\ \right.\) \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {x \over r} = \cos \theta & (I) \\ {y \over r} = \sin \theta & (II) \\ x^2 + y^2 = r^2 & (III) \\ \theta = \arctan ({y \over x} ) & (IV) \end{matrix} \\ \right.\)
Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação do enunciado, a equação resultante é:
\(\Longrightarrow r = 8(\sin \theta + \cos \theta )\)
\(\Longrightarrow r = 8({y \over r} + {x \over r} )\)
\(\Longrightarrow r^2 = 8(y+x)\)
Agora, substituindo a equação \((III)\), tem-se o seguinte:
\(\Longrightarrow x^2 + y^2 = 8x+8y\)
\(\Longrightarrow x^2 -8x+ y^2 - 8y=0\)
\(\Longrightarrow (x^2 -8x+16)+ (y^2 - 8y+16)=16+16\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ (x-4)^2 + (y-4)^2 = 32 $}\)
Portanto, trata-se da equação de uma circunferência de centro \((4,4)\) e raio igual a \(\sqrt{32}\).
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Geometria Analítica
•UNIUBE
Compartilhar