QUESTÃO DE CALCULO na descrição da pergunta.

- Primeiramente pegaremos as informações iniciais do exercício:

V=500ml , 500ml = 500cm³

Sabemos ainda que:

V=(pi)r²h

At=2(pi)r² + 2(pi)rh

- Para facilitar os trabalhos isolaremos o h e em seguida o substituiremos na equação da área, de modo que obeteremos:

h=v/(pi)r²

Substituindo e simplificando a equação da area, então:

At= 2(pi)r² + 2(v/r)  

- Paralelo a isso temos que ter em mente que quando:

*   f(x) < f'(x)     , obteremos o ponto de máxima

*   f(x) > f'(x)     , obteremos o ponto de mínima

O ponto de máxima e mínima ao qual nos referimos, ainda pode ser testado através da segunda derivada, ficando:

* para f''(x) < 0   , ponto de máxima 

* para f''(x) > 0  , ponto de mínima

- Ainda precisamos saber como isolar o ponto x, ao qual nossa função se refere. 

Para isso devemos igualar a função a 0, tanto a funçaõ original quanto a derivada. 

**** Agora que sabemos isso, daremos continuidade, considerando o x, das considerações anteriores, como sendo r.

1) Derivamos, para encontrarmos o ponto de mínima da função da area:

At(r) = 2(pi)r² + 2v/r

e sua derivada será:

At'(r) = 4(pi)r - 2v/r²    

Se  At'(r) = 0, então:

r= (v/2(pi))^1/3 

encontramos o ponto de mínima, pois sempre que r->0, At'(r)<0

2) Aplicamos o ponto de mínima de r na função  da altura (h), econtramos o valor aproximado de h e em seguida de r.

h= v/(pi)r² , que vai tornar-se

h= v/(pi)(v/2(pi))^1/3

Substituindo os valores, de v e (pi) em h, teremos:

h= 500/3,14(500/6,28)2/3

h=500/58,1

h= 8,61 (aproximadamente)

Agora podemos utilizar o valor de r encontrado atraves da derivada, ou substituir h na formula do volume e isolar r, aqui vamos utilizar apenas a formula encontrada da derivada, com intuito de simplificar a resolução:

r= (v/2(pi))^1/3

r= (500/6,28)^1/3

r= 4,30        (aproximadamente)

- Encontramos então as medidas de r e h, para minimizar os gastos com a embalagem. Sendo r=2,30 e h=8,61, aproximadamente

- Como ultimo recurso, para provar se essews valores são reais, é só utilizar os dados encontrados para r e h na fórmula do volume. 

**** Lembramos que os valores encontrados são aproximados.

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Para resolver esse exercício precisamos saber o Teste da Primeira Derivada, o qual diz:

Seja \(c \)um ponto crítico: 

a) Se \(f’(x) > 0\) para todo \(x < c\) e \(f’(x) < 0\) para todo \( x > c\), então f(c) é o valor máximo absoluto (global) de \(f\).

b) Se \(f’(x) < 0 \)para todo \(x < c\) e \(f’(x) > 0\) para todo \(x > c\), então f(c) é o valor mínimo absoluto (global) de \(f\)

Além disso, devemos conhecer algumas fórmulas:

A área total de um cilindro é dada por :

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr)h\)      \((I)\)

O volume de um cilindro é dado por:

\(V = πr^2h    \)                      \( (II)\)

Vamos substituir o volume dado no enunciado na equação \( (II)\) e então isolar a variável \(h\) para substituí-la na equação \((I)\):

\(V = πr^2h     \\ 500.10^{-6}= πr^2h     \\ h=\frac{500.10^{-6}}{πr^2}\)

Substituindo em \((I)\):

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr).(\frac{500.10^{-6}}{πr^2})\\ A(r, h) = 2(πr^2) + (\frac{1000.10^{-6}}r)\)

Vamos então encontrar o ponto critico dessa equação, derivando em relação a \(r\) e igualando a zero:

 \(2(πr^2) + (\frac{1000.10^{-6}}r)\\ 4πr-(\frac{1000.10^{-6}}{r^2})=0\\ 4πr = (\frac{1000.10^{-6}}{r^2})\\ 4πr^3=1000.10^{-6}\\ r=\pm 4,3.10^{-2}\\\)

como \(r> 0\) , vamos usar o valor positivo

Analisando a equação \(4πr-(\frac{1000.10^{-6}}{r^2})\) vemos que, se diminuirmos \(r\), ela tende a ficar negativa, uma vez que a parcela negativa \(-(\frac{1000.10^{-6}}{r^2})\) aumenta. Assim, uma vez que \(r=4,3.10^{-2}  \)é um ponto de inflexão:

Se \(r<4,3. 10^{-2} \rightarrow A <0\)

Se \(r>4,3. 10^{-2} \rightarrow A >0\)

Portanto, pelo teste da primeira derivada, o ponto \(r=4,3.10^{-2}  \) é um ponto de mínimo local.

Para achar \(h\), basta substituir o valor de r na relação \(h=\frac{500.10^{-6}}{πr^2}\):

\(h=\frac{500.10^{-6}}{πr^2}\\ h=\frac{500.10^{-6}}{π(4,3.10^{-2})^2}\\ h=2,7427.10^{-2}\)

Portanto:
\(\boxed{r= 4,3 cm}\\ \boxed{h=2,7 cm}\)