∫ de 0 a 2 de: v² dv / (v³-2)²

Podemos resolver essa integral por substituição.

u= v³ -2  → du=3v²dv →v²dv=du/3

∫v²/(v³-2)²dv

= ∫du/3u²

= 1/3∫u^-2du

=1/3 (-1/u)

=1/3 (-1/(v³-2))|de 0 a 2

=1/3 (-1/(2³-2) - (-1/0³-2))

=1/3 (-1/6 - 1/2)

=1/3 (-8/12)

=-8/36 = -2/9

Para essa integral, poderemos tratar da seguinte substituição simples:

\(u = v^3 - 2, \ du = 3v^2\)

Logo, nossa integral (indefinida) se torna:

\(\frac{1}{3} \int \frac{du}{u^2}\)

Como \(\frac{1}{u^2} = u^{-2}\) e \(\int u^k = \frac{u^{k+1}}{k+1}\), teremos:

\(-\frac{1}{3} \frac{1}{u}\)

E desfazendo a substituição com a adição dos índices de integração, obtemos:

\(-\frac{1}{3} [\frac{1}{v^3 - 2}]_0^2=[\frac{1}{6 - 3v^3}]_0^2 \\ -\frac{1}{3} [\frac{1}{v^3 - 2}]_0^2=-\frac{1}{18} + \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} [\frac{1}{v^3 - 2}]_0^2=\boxed{\frac{1}{9}}\)