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Determine para quais valores de k o sistema possui solução única.Qual a solução para k=5?

2x-2y+4z=14

-x-y-z= -6

x-3y+kz=2


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Pela regra de Cramer, o determinante geral deve ser diferente de zero para que o sistema seja SPD. Logo, teremos:

\(\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & k \end{vmatrix} \neq 0 \\ -3k + 12 \neq 0 \\ \boxed{k \neq 4}\)

Ainda pela regra de Cramer, teremos as seguintes soluções:

\(x = \frac{\begin{vmatrix} 14 & -2& 4 \\ -6 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{x = 11}\)

\(y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14& 4 \\ -1 & -6 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{y = -2}\)

\(z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -2& 14 \\ -1 & -1 & -6 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{z = -3}\)

Pela regra de Cramer, o determinante geral deve ser diferente de zero para que o sistema seja SPD. Logo, teremos:

\(\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & k \end{vmatrix} \neq 0 \\ -3k + 12 \neq 0 \\ \boxed{k \neq 4}\)

Ainda pela regra de Cramer, teremos as seguintes soluções:

\(x = \frac{\begin{vmatrix} 14 & -2& 4 \\ -6 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{x = 11}\)

\(y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14& 4 \\ -1 & -6 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{y = -2}\)

\(z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -2& 14 \\ -1 & -1 & -6 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \\ \boxed{z = -3}\)

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PH

Há mais de um mês

Para que o sistema possua solução única, esse sistema precisa ser possível e determinado. Uma característica deste tipo  de sistema é a seguinte;

det A ≠ 0, onde A é a matriz dos coeficientes da forma matricial do sistema, que no seu caso é:

|2    -2      4| |X|     |14|

|-1   -1    -1|  |Y| = |-6|, onde

|1    -3      k|  |Z|        |2 |
   

    |2    -2      4|

A=  |-1   -1    -1|, que implica em detA≠0 para, k ≠3. 

      |1    -3      k| 

 

Para k=5, basta utilizar qualquer método de solução para sistemas lineares, neste caso, por ser um sistema 3 por 3, sugiro a regra de Cramer.

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gusmao2010

Há mais de um mês

o valor de k é diferente de 2

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas