Determine para quais valores de k o sistema possui solução única.Qual a solução para k=5?

Question

2x-2y+4z=14
-x-y-z= -6
x-3y+kz=2

PH Silva · Answer

Para que o sistema possua solução única, esse sistema precisa ser possível e determinado. Uma característica deste tipo  de sistema é a seguinte;
det A &ne; 0, onde A é a matriz dos coeficientes da forma matricial do sistema, que no seu caso é:
|2    -2      4| |X|     |14|
|-1   -1    -1|  |Y| = |-6|, onde
|1    -3      k|  |Z|        |2 |   
    |2    -2      4|
A=  |-1   -1    -1|, que implica em detA&ne;0 para, k &ne;3. 
      |1    -3      k| 
 
Para k=5, basta utilizar qualquer método de solução para sistemas lineares, neste caso, por ser um sistema 3 por 3, sugiro a regra de Cramer.

gusmao2010 . · Answer

o valor de k é diferente de 2

RD Resoluções · Answer

Pela regra de Cramer, o determinante geral deve ser diferente de zero para que o sistema seja SPD. Logo, teremos:

$\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \ -1 & -1 & -1 \ 1 & -3 & k \end{vmatrix} \neq 0 \
-3k + 12 \neq 0 \
\boxed{k \neq 4}$

Ainda pela regra de Cramer, teremos as seguintes soluções:

$x = \frac{\begin{vmatrix} 14 & -2& 4 \ -6 & -1 & -1 \ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \ -1 & -1 & -1 \ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \
\boxed{x = 11}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14& 4 \ -1 & -6 & -1 \ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \ -1 & -1 & -1 \ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \
\boxed{y = -2}$

$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -2& 14 \ -1 & -1 & -6 \ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \ -1 & -1 & -1 \ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}} \
\boxed{z = -3}$

Determine para quais valores de k o sistema possui solução única.Qual a solução para k=5?

Álgebra Linear I

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