Estabelecer todas as equações da reta no seguinte caso. Ponto A(1,-2,3) é paralelo a reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v=(2,-2,3)

Um ponto ser paralelo a uma reta não faz muito sentido, entende? Então vou supor que o que você quer são as equações paramétricas da reta (chamarei de reta r) que passa pelo ponto A =(1,2,3) e é paralela a reta (vou chamar de reta s) que passa por B=(2,0,1) e teem a mesma direção de v=(2,-2,3).

Bem, se a reta r é paralela a s, então as duas tem a mesma direção. Isso significa que o vetor v também é vetor direcional de r. 

A equação vetorial de uma reta é que passa por (xo,yo,zo) e tem direção (a,b,c) é dada por: (x,y,z)= (xo,yo,zo) + (a,b,c)λ

Logo, a equação da reta r é:

(x,y,z) = (1,-2,3) + (2,-2,3)λ 

Então as equações paramétricas são:

r: x= 1 +2λ
   y= -2 -2λ
   z=  3 +3λ       λ ∈ R

Para encontrarmos a equação da reta, realizaremos os procedimentos abaixo:

\(\begin{align} & A=(1,-2,3) \\ & v=(2,-2,3) \\ & \\ & X=A+vt \\ & (x,y,z)=(a,b,c)+({{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}})t \\ & (x,y,z)=(1,-2,3)+(2,-2,3)t \\ & \\ & x=1+2t \\ & y=-2-2t \\ & z=3+3t \\ \end{align}\ \)

Portanto, as equações da reta serão \(\boxed{\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x = 1 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 3 + 3t} \end{array}} \right\}}\).