Sendo r(t) a curva da posição, velocidade é dada pela 1ª derivdada, enquanto a aceleração é dada pela 2ª derivada. v=dr/dt a=dv/dt
r(t) = (cost, sent, t²)
v=r'(t) = (-sent, cost, 2t)
a=r''(t) = (-cost, -sent, 2)
Acho que você quer saber a aceleração no ponto Π/2, certo?
a= (-cos(Π/2), -sen(Π/2), 2) = (0,-1,2)
Neste exercício, será calculada a aceleração de uma dada curva em \(t={\pi \over 2}\). Essa dada função é:
\(\Longrightarrow r(t)=(\cos t,\sin t,t^2)\)
Sendo \(r(t)\) a curva de posição, pode-se obter a curva de aceleração \(a(t)\) da seguinte forma:
\(\Longrightarrow a(t)={d^2 \over dt^2}r(t)\)
Portanto, a função \(a(t)\) é:
\(\Longrightarrow a(t)={d^2 \over dt^2}(\cos t,\sin t,t^2)\)
\(\Longrightarrow a(t)={d \over dt}(-\sin t,\cos t,2t)\)
\(\Longrightarrow a(t)=(-\cos t,-\sin t,2)\)
A partir de \(a(t)\), pode-se determinar a aceleração escalar \(||a(t)||\) da seguinte forma:
\(\Longrightarrow ||a(t)||=||(-\cos t,-\sin t,2)||\)
\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { (-\cos t)^2 + (-\sin t)^2 + 2^2}\)
\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { \cos^2 t + \sin^2 t + 2^2}\)
Sabendo que \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\), a aceleração \(||a(t)||\) é:
\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { 1 + 4}\)
\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt {5}\)
Pela equação anterior, pode-se perceber que \(||a(t)||\) é independente do valor de \(t\). Portanto, para \(t={\pi \over 2}\), a aceleração da curva \(r(t)\) é:
\(\Longrightarrow \fbox{$ ||a(t)||=\sqrt {5} $}\)
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Cálculo II
•ESTÁCIO EAD
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