Questão resolvida - Seja C uma curva parametrizada definida por x(t) = sent, y(t) = cost, onde 0 t π Calcule o comprimento da curva C - Cálculo II - UNIP

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Seja C uma curva parametrizada definida por , onde x t = − sen t , y t = − cos t( ) ( ) ( ) ( )
. Calcule o comprimento da curva C.0 ≤ t ≤ π
 
Resolução: 
 
O comprimento de arco de uma curva em coordenadas paramétricas é dada pela expressão:
L = dt∫
𝛽
𝜃
x' t + y' t[ ( )]2 [ ( )]2
 Devemos, então, achar as derivadas e , passamos para a seguinte notação:x' t( ) y' t( ) r t( )
r t = , 0 ≤ t ≤ π( ) x t = − sen t( ) ( )
y t = − cos t( ) ( )
As derivadas são:
x t = − sen t x' t = - cos t( ) ( ) → ( ) ( )
 
y t = − cos t y' t = - -sen t y' t = sen t( ) ( ) → ( ) ( ( )) → ( ) ( )
 
Substituindo na fórmula docomprimento de arco fica:
 
L = dt L = dt
0
∫
𝜋
-cos t + sen t[ ( )]2 [ ( )]2 →
0
∫
𝜋
cos t + sen t2( ) 2( )
 
como : cos t + sen t = 1 identidade fundamental trigonométrica2( ) 2( ) →
 
L = dt L = 1 dt L = t L = 𝜋- 0 L = 𝜋 u. c. 
0
∫
𝜋
1 →
0
∫
𝜋
→
𝜋
0
→ →
 
 
(Resposta )