questoes da sub de equacoes diferenciais alguem sabe resolver pois geralmente e a mesma prova do exame

Alguem?

Posso ensinar os métodos.

1) Para a primeira, equação do tipo Cauchy-Euler:

\(y'' \cdot 72x = 4 e^3 x \\ y''= \frac{e^3}{18}\)

Basta integrar duas vezes de ambos os lados, até obter \(y(x)\). A solução deve ser um polinômio quadrático.

2) Para a segunda, equação do tipo diferencial exata \(P dx + Q dx = 0\) onde \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2xy\). Logo, a solução advém da equação:

\(\int P dx = k \ \ \ ou \ \ \ \int Q dy = k\)

Pela primeira forma:

\(2x^2 + \frac{x^2 y^2}{2} + h(y) = k, \ k \in \mathbb{R}\)

Perceba que essa "constante" na verdade é uma função de y. Isso vem do método, é preciso ler a respeito. Derivando essa forma com relação a y, devemos obter a própria função Q:

\(x^2 y + h'(y) = 9 + yx^2 \\ h'(y) = 9 + yx^2 - x^2 y \\ h'(y) = 9 \\ h(y) = 9y + K, \ K \in \mathbb{R}\)

Ou seja, a solução que queremos para y(x) vem da solução da equação:

\(2x^2 + \frac{x^2 y^2}{2} + 9y + K = k \\ 2x^2 + \frac{x^2 y^2}{2} + 9y = k\)

No passo anterior absorvemos duas constantes em apenas uma, já que ela é definida pela condição inicial. Pela condição inicial y(1) = 2:

\(2 + \frac{4}{2} + 18 = k \\ k = 22\)

Finalmente, nossa solução y(x) sai da solução da equação quadrática abaixo:

\(2x^2 + \frac{x^2 y^2}{2} + 9y = 22\)

3) Nesse caso não está explícito qual é a EDO a ser resolvida. Se for um sistema de EDO, não faz muito sentido.