6. Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada: (a) y′ = (...
6. Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
(a) y′ = (x + y)2. Resp: y = −x + tg (x + c).
(b) y′ = (8x + 2y + 1)2. Resp: 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + c).
(c) (2x + 3y − 1)dx + (4x + 6y − 5)dy = 0. Resp: x + 2y + 3 ln |2x + 3y − 7| = c.
(d) (2x − y)dx + (4x − 2y + 3)dy = 0. Resp: 5x + 10y + c = 3 ln |10x − 5y + 6|.
(e) y′ = (2y − 3x + 7)3 + 3 / 2.
(f) y′ = −1 + e−(y+x+1)2 / 2(y + x + 1).
(g) y′ = 2 − 3 / √(2x − y + 7).
(a) y′ = (x + y)2. Resp: y = −x + tg (x + c).
(b) y′ = (8x + 2y + 1)2. Resp: 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + c).
(c) (2x + 3y − 1)dx + (4x + 6y − 5)dy = 0. Resp: x + 2y + 3 ln |2x + 3y − 7| = c.
(d) (2x − y)dx + (4x − 2y + 3)dy = 0. Resp: 5x + 10y + c = 3 ln |10x − 5y + 6|.
(e) y′ = (2y − 3x + 7)3 + 3 / 2.
(f) y′ = −1 + e−(y+x+1)2 / 2(y + x + 1).
(g) y′ = 2 − 3 / √(2x − y + 7).
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Ed 
Para resolver a equação diferencial y′ = (x + y)², podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, fazemos uma mudança de variáveis, definindo v = x + y. Então, temos: dv/dx = 1 + dy/dx Substituindo na equação original, temos: dv/dx = v² Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados: ∫dv/v² = ∫dx -1/v = x + c1 Multiplicando ambos os lados por -1, temos: v = -1/(x + c1) Substituindo v por x + y, temos: x + y = -1/(x + c1) y = -x + (-1/(x + c1)) Simplificando, temos: y = -x + tg(x + c2), onde c2 = -1/c1 Portanto, a resposta é y = -x + tg(x + c).
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