A area de um triagulo pode ser encontrada por meio do calculo do produto vetorial, a definição da área do triangulo  é dada por metade do modulo do produto vetorial entre dois vetores com origem no mesmo vertice, por exemplo AB e AC.

Encontrando os vetores AB e AC teremos:

\(AB=B-A\)

\(AB=(0,-5,-1)\)

\(AC=C-A \)

\(AC=(-1,-1,-4)\)

O produto vetorial entre os vetore AB e AC é dado por:

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\left| \begin{array}{cccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 0 & -5 & -1\\ -1 & -1 & -4\\ \end{array} \right| \)

Resolvendo o determinante encontramos: 

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=18\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}\)

Calculando o modulo do vetor obtido pelo produto vetorial temos:

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\sqrt{18^2+2^2+5^2}\)

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\sqrt{353}\)

Logo a area do triangulo é \(A=\frac{\sqrt{353}}{2}\)