Limites (Volume I) Piskunov questão 25, capítulo II.

Creio que, se a distância entre x e a for pequena (lim quando x tende a "a"), a equação se tornará a derivada da raiz enésima, ou seja, (1/9)*Xe(-8/9)

Abs

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to a} { \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} \over x-a}\)

Será utilizada a Regra de L'Hôpital, cuja equação é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)}\)

Derivando o numerador e o denominador em x, tem-se que:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to a} { {x}^{1 \over n} - {a}^{1 \over n} \over x-a} = \lim_{x \to a} { \big( {x}^{1 \over n} - {a}^{1 \over n} \big )' \over (x-a)'}\)

                                \(= \lim_{x \to a} { ({1 / n}){x}^{{1 \over n}-1} - 0 \over 1-0}\)

                                \(= \lim_{x \to a} { {x}^{{1-n \over n}} \over n}\)

                                \(={ 1 \over n} {a}^{{1-n \over n}} \)

Portanto, o resultado do limite é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to a} { \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} \over x-a}={ 1 \over n} {a}^{{1-n \over n}} $}\)