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Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de M003 - Cálculo I 2o Período Lista de exercícios Capítulo 1 2o Semestre de 2017 Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL – LIMITES 01) Calcule os limites a seguir. 1) 3 9lim 2 3 x x x 2) )1002(lim 24 xx x 3) )825(lim 3 xx x 4) 17 16lim 3x x 5) 1lim 2 xx x 6) 5 2lim 3x x 7) xx 1lim 8) xx 4010lim 9) 3 20lim 3xx 10) 3 1lim xx 11) xx 1lim 0 12) 20 1lim xx 13) 20 1lim xx 14) 20 1lim xx 15) xx 5lim 0 16) xx 5lim 0 17) xx 5lim 0 18) 1 5lim 1 xx 19) 1 5lim 1 xx 20) 1 5lim 1 xx 21) 2 1lim 2 x x x 22) 2 1lim 2 x x x 23) 4 1lim 22 xx 24) 4 1lim 22 xx 25) 9 5lim 23 x x x 26) 9 5lim 23 x x x 27) x x 2lim 28) 22lim x x 29) x x 2lim 30) x x 2lim 31) x x 1 1 1 2lim 32) x x 1 1 1 2lim 33) 2 1 2 5 2lim x x 34) 2 1 2 5 2lim x x 35) x x x 1 0 )52(lim 36) 2 5 1 5 1loglim xx 37) )1ln(lim 2 x x 38) 12 1 )12ln(lim xx x 39) 12 2 11 )12(loglim xx x 40) x x x 1 1 1 2 1lim Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 3 02) Calcule os limites a seguir. 1) 6 44lim 2 2 2 xx xx x 2) 74 85lim 23 45 xx xx x 3) )15(lim 23 1 xxx x 4) 4 12lim 2 x x x 5) 13 75lim 2 2 1 xx xx x 6) 1383 192lim 24 7 xx x x 7) 152 127lim 2 4 xx xx x 8) 1lim 3 x x 9) 3 9lim 9 x x x 10) 2 lim 2 x x x 11) 1 1lim 5 1 x x x 12) 1 1lim 3 1 x x x 13) ax ax nn ax lim 14) ax ax mm ax lim 15) x xx x 11lim 0 16) 21 )1( 21lim x xx x 17) x xxxx x 335lim 22 0 18) 2 2 13 lim 2 x xx x xx x 19) 73 1325lim 2 3 23 xxx xxx x 20) 824 351 lim 2 2 0 xx xx x 21) )(lim 2 xxx x 22) a xax a 33 0 )(lim 23) 3 1372lim 33 3 x x x 24) bxb x x 0 lim 25) 3 3lim 55 3 x x x 26) pnxmx cbxax x 2 2 lim 27) 33 2 )1(lim ax axax ax 28) )25(lim xx x 29) )22(lim 22 dcxxabxx x 30) pp mm ax ax ax lim 31) x xsenxsen x 24lim 0 32) 2 2 0 1seclim sen 33) x x x senlim 34) aa a senlim 35) xx xx x 2sen. cos3coslim 0 36) x x 1 0 3lim Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 4 37) x x 1 0 3lim 38) n n n 1 lim 39) x x x x x x x 1 1 sen senlim 0 40) tg 2senlim 2 41) tg 2coslim 2 42) 43 2 5 1lim n n n 43) xx x 2lnlnlim 0 44) xxsen x 4ln3lnlim 0 45) x x x senlim 46) x x x cos1lim 0 47) x e x x 1lim 2 0 48) )(lim 3 xx x 49) xx x sectglim 4 3 50) xx xx x cos 3sen7senlim 0 51) x x x 1lim 52) x x x 2 0 )1(lim 53) x x x log 1lim 2 1 54) xx x ln2senlnlim 0 55) )3(lim xx x 56) x x x x tgcos1lim 0 57) 30 5sen.3sen.senlim x xxx x 58) x xxx x 5sen3sensenlim 0 59) x x x sen lim 60) x xx x tg1 cossenlim 4 61) x x x x 1 lim 62) x x x 3 4 0 51lnlim 63) 12167 43lim 23 23 2 xxx xx x 64) )3(sec 1)3(seclim 22 2 0 xx x x Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 5 03) Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados. a) 3 9 23)( 2 xem x xxf b) 1 1 1)( 2 xem x xxf c) 3 3 27)( 3 xem x xxf d) 0 0,1 0,0 )( xem xse xse xf e) 3 3,5 3, 3 9 )( 2 xem xse xse x x xf f) 1 1,2 1, 1 1 )( 2 xem xse xse x x xf g) 01)( zem z zs h) 1 1 34)( 2 tem t ttth i) 2 23 42)( 2 xem xx xxf j) 0||)( xemxxg k) 0 0,0 0, )( wem wse wsew wy l) 1 1,2 1,1 )( yem ysey ysey yf 04) O gráfico cartesiano de uma função real )(xfy está esboçado na figura a seguir. A partir desse gráfico, complete o quadro seguinte com informações a respeito da função f(x). Raízes f (0) )(lim 5 xf x )(lim 0 xf x Domínio f (5) )(lim 5 xf x )(lim 0 xf x Imagem f (7) )(lim 5 xf x )(lim 0 xf x f (-7) )(lim 7 xf x )(lim 2 xf x )(lim 5 xf x f (-5) )(lim 7 xf x )(lim 2 xf x )(lim 5 xf x f (-2) )(lim 7 xf x )(lim 2 xf x )(lim 5 xf x Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 6 05) Para a função 62 2)( x xxf , pede-se: a) Domínio e imagem de )(xf . b) Raiz(es) e ).0(f c) )(lim 3 xf x d) )(lim 3 xf x e) )(lim xf x f) )(lim xf x g) A partir dos dados dos itens anteriores, esboce o gráfico de )(xf .h) Imagem. 06) O que se pode afirmar sobre a continuidade da função a seguir no ponto de abscissa 0 ? 02 4 3 013 )( 2 2 se se B 07) Considere a função 23 32)( x xxf . Determine: a) Sua inversa )(1 xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) A(s) raiz(es) de )(xf . d) )(lim 3 2 xf x e) )(lim xf x f) )(lim xf x g) A partir dos dados dos itens anteriores, esboce o gráfico de )(xf . 5 7 -7 -5 -2 6 x 0 y Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 7 08) Considere a seguinte função x xxf 22 13)( . Determine: a) Sua inversa )(1 xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) A(s) raiz(es) de )(xf . d) )(lim 1 xf x e) )(lim xf x e )(lim xf x f) O gráfico de )(xf . 09) Considere a seguinte função 4 23)( x xxf . Determine: a) Sua inversa )(1 xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) )(lim 4 xf x d) O gráfico de )(xf . 10) Calcule os seguintes limites: a) 5 )23()32(lim 5 23 x xx x b) 49 32lim 27 x x x c) 233 21 )1( 12lim x xxx d) x x x x 42lim e) )2( )52()23(lim 6 34 xx xx x f) x x x 2 )3sen(lim 0 g) x x x 1 1 1 lim 0 h) 5 125lim 3 5 x x x i) x x x 24lim 0 j) )(sen. )2cos()4cos(lim 0 xx xx x k) 3 7 57 12 43lim x xx x l) x x x 2 0 )1(lim m) 9 3lim 4 81 x x x n) )8(sen34 )4(sen8lim 0 xx xx x o) 10 1 10 10 1lim x x p) 36254 20173lim 2 2 4 xx xx x q) 6592 7lim 2 xxx x x r) 27 9lim 3 729 x x x s) 451lim x x x t) x xxx x 2 )(senlim 2 0 u) )4(2lim x x x x v) 24 422 )52(2 )62()34(lim x xx x 11) Calcule os seguintes limites: a) 3 43105lim 22 3 x xxxx x b) )]2ln())(sen[ln(lim 2 0 xxxx x Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 8 c) 43 485lim 23 23 2 xx xxx x d) )43(loglim 46 2 1 xxx e) 2233 233 )32()54(5 )23()54(lim xxx xx x f) 2 2senlim 2 x x x 12) Considere a seguinte função: 2 2 20 33 0 4 )( 2 xse xsex xsex xf . Pede-se: a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) )(lim 0 xf x d) )(lim 1 xf x e) )(lim 2 xf x f) )0(f g) )1(f h) )2(f 13) Considere a seguinte função: 2 2 20 2 0 32 )( 2 xsex xsex xsexx xf . Pede-se: a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) )(lim 0 xf x d) )(lim 1 xf x e) )(lim 2 xf x f) )0(f g) )1(f h) )2(f 14) Considere a seguinte função: 3 62 30 482 0 6 2 3 )( 2 2 xsex xsexx xsex xf . Pede-se: a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . c) )(lim 0 xf x d) )(lim 2 xf x e) )(lim 3 xf x f) )0(f g) )2(f h) )3(f 15) Considere a seguinte função: 2 78 22 32 2 42 )( 2 2 xsexx xsexx xsex xf . Pede-se: a) O gráfico de )(xf . b) Domínio e imagem de )(xf . Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 9 c) Raízes de )(xf . d) )(lim 2 xf x e) )(lim 2 xf x f) )(lim xf x g) )(lim xf x h) )2(f i) )2(f 16) Considere o gráfico da função f(x) representado a seguir. x y Determine: a) Domínio: D(f)= b) Imagem: Im(f)= c) )(lim xf x = d) )(lim xf x = e) )(lim 2 xf x = f) )(lim 0 xf x = g) )(lim 2 xf x = h) )(lim 4 xf x = i) )4(f = j) )2(f = k) )0(f = l) )2(f = m) )4(f = n) )5(f = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 10 17) Resolva os limites a seguir: a) 2 )(log)152( 43 6 lim 2 5 3 2 2 2 3 xx xxx xx xx x b) )cos( )(sen1lim 2 3 x x x c) 1 6lim 2 x x x d) x x x21lim 0 e) 2 cos1 lim 2 2 0 x x x 18) Para a função 1 2)( x xxf , pede-se: a) Domínio. b) Imagem. c) Raízes e f(0). d) Limites laterais em torno da assíntota vertical. e) Limites no infinito. f) A partir das informações dos itens anteriores, esboce o gráfico de f(x). 19) Para a função a seguir, pede-se: a) Domínio b) Imagem c) )(lim xf ax d) )(lim xf dx e) )(lim xf ex f) f(c) g) Raízes de f(x) h) f (e) i) )(lim xf x j) )(lim xf bx Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 11 20) Considere a seguinte função: 243 2232 23 222 )( 2 xsex xsexx xse xsex xf . Pede-se: a) O gráfico de )(xf b) Preencha a tabela a seguir, indicando (V) para verdadeiro e (F) para falso. ( ) }2{)( fD ( ) )(lim 0 xf x não existe ( ) ]5,()Im( f ( ) )(lim 2 xf x não existe ( ) 2)(lim 2 xf x ( ) )(lim xf x ( ) 3)(lim 2 xf x ( ) 2)2( f ( ) )( xf possui apenas uma raiz ( ) 3)2( f 21) Verifique se a função a seguir é contínua no ponto 1x . Mostre todos os passos de sua solução. 1 44 1 102112 254 1 12 12 )( 2 23 23 2 33 2 xse xx x xse xxx xxx xse xx xx xf 22) Para a função 25 12)( x xxf , pede-se: a) Domínio. b) Imagem. c) Raízes e f(0). d) Limites laterais em torno da assíntota vertical. e) Limites no infinito. f) A partir das informações dos itens anteriores, esboce o gráfico de f(x). Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 12 23) Calcule os limites a seguir: a) x xx x 23 0 6lim b) 2 2 2)cos( e3lim xx x x x c) 2 16lim 2 4 2 xx x x d) 3 2 3 lim x x x x e) 2 22lim 3 4 x x x f) 1 )23(2lim 2 1 x xxsen x 24) Para a funçãodefinida pelas equações a seguir, pede-se: 3 62 30 482 0 5 0 6 2 3 )( 2 2 xx xxx x xx xf a) Gráfico de )(xf . b) Domínio. c) Imagem. d) )(lim 0 xf x e) )(lim 0 xf x f) )(lim 0 xf x g) )0(f h) )(lim 3 xf x i) )(lim 3 xf x j) )(lim 3 xf x k) )3(f l) )(lim xf x m) )(lim xf x 25) Para a função definida pelas equações a seguir, pede-se: 2 4 2 1 2 0 22 0 1 )( 2 xx x xx xx xf a) Gráfico de )(xf . b) Domínio. c) Imagem. d) )(lim 0 xf x e) )(lim 0 xf x f) )(lim 0 xf x g) )0(f h) )(lim 2 xf x i) )(lim 2 xf x j) )(lim 2 xf x k) )2(f l) )(lim xf x m) )(xf é contínua no ponto 2x ? Justifique. 26) Para a função 1 3)( x xxf , pede-se: a) Domínio. b) Imagem. c) Raízes e )0(f . d) Limites laterais em torno de 1x . Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 13 e) Limites no infinito. f) A partir das informações dos itens anteriores, esboce o gráfico de )(xf . 27) Calcule os limites a seguir. a) x x x 51 53lim 4 b) )4(senln)ln(lim 0 xx x c) 5 62 2lim x x x x d) 65 67lim 2 3 3 xx xx x 28) Para a função definida pelas equações a seguir, pede-se: 252 2022 0222 256 )( 2 2 xsex xsexx xsex xsexx xf a) Gráfico de )(xf . b) Domínio. c) Imagem. d) )(lim 2 xf x e) )(lim 2 xf x f) )(lim 2 xf x g) )2(f h) )(lim 2 xf x i) )(lim 2 xf x j) )(lim 2 xf x k) )2(f l) )(lim xf x m) )(xf é contínua no ponto 0x ? Justifique. 29) Determine: a) 3 47lim 2 3 x x x b) 5 63 3lim x x x x c) 35 2lim 22 x x x d) 3 52 2lim x x x x Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 14 RESPOSTAS 01) 1) 0 2) 3) 4) 5) 6) 7) 0 8) 0 9) 0 10) 0 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 0 28) 29) 30) 1 31) 32) 0 33) 34) 0 35) 36) 1 37) 38) 39) 40) 0 02) 1) 0 2) 3) 8 4) 2 3 5) 5 3 6) 7) 8) 2 9) 6 10) 1 11) 5 12) 0 13) 1nna 14) ma am 15) 1 16) 4 1 17) 3 32 18) 2 1 19) 4 53 20) 4 1 21) 2 1 22) 23x 23) 39 132 3 24) b2 25) 15 35 26) m a 27) 23 )1( a a 28) 0 29) cb 30) pma p m 31) 2 32) 1 33) 0 34) 35) 2 36) 37) 0 38) 39) 3 40) 0 41) 0 42) 5 253 43) )2ln( 44) 4 3ln 45) 1 46) 2 2 47) 2 48) 49) 21 50) 4 51) e 52) 2e 53) )10ln(2 54) )2ln( 55) 56) 2 2 57) 15 58) 9 59) real 60) 2 2 61) 1e 62) 3 20 63) 3 64) 9 03) a) Não contínua b) Contínua c) Não contínua d) Não contínua e) Não contínua f) Contínua g) Não contínua h) Não contínua i) Não contínua j) Contínua k) Contínua l) Não contínua Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 15 04) Raízes = }7,2,5{ f (0) = real )(lim 5 xf x = 0 )(lim 0 xf x = 6 Domínio = 5,0 e ]7,7] x f (5) = real )(lim 5 xf x = 0 )(lim 0 xf x = Imagem = 6 e ),0[ y f (7) = 0 )(lim 5 xf x = 0 )(lim 0 xf x = real f (-7) = real )(lim 7 xf x = real )(lim 2 xf x = 6 )(lim 5 xf x = 6 f (-5) = 0 )(lim 7 xf x = 6 )(lim 2 xf x = 0 )(lim 5 xf x = 6 f (-2) = 0 )(lim 7 xf x = real )(lim 2 xf x = real )(lim 5 xf x = 6 05) a) 3|)( xxfD 2 1|)Im( yyf g) b) Raiz: 2 e 3 1)0( f c) )(lim 3 xf x d) )(lim 3 xf x e) 2 1)(lim xf x f) 2 1)(lim xf x h) 2 1|)Im( yyf 06) A função é continua em = 0. 07) a) 23 32)(1 x xxf f) b) 3 2|)( xxfD e 3 2|)Im( yyf c) Raiz: 2 3 d) )(lim 3 2 xf x real e) 3 2)(lim xf x e 3 2)(lim xf x Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 16 08) a) 32 12)(1 x xxf f) b) 1|)( xxfD e 2 3|)Im( yyf c) Raiz: 3 1 d) )(lim 1 xf x real e) 2 3)(lim xf x e 2 3)(lim xf x 09) a) 3 24)(1 x xxf d) b) 4|)( xxfD 3|)Im( yyf c) )(lim 4 xf x l 10) a) 72 b) 56 1 c) 9 1 d) 8e e) 648 f) 2 3 g) 2 1 h) 75 i) 4 1 j) 6 k) 3 2 3 l) 2e m) 6 1 n) 7 1 o) 0 p) 1 q) 7 r) 9 2 s) 5e t) 0 u) 2e v) 32 11) a) 2 1 b) real c) 3 1 d) e) 16 25 f) 2 Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 17 12) 13) 14) )( fD 4|)Im( yyf )(lim 0 xf x real 0)(lim 1 xf x )(lim 2 xf x real 3)0( f 0)1( f 3)2( f )( fD 4|)Im( yyf )(lim 0 xf x real 2)(lim 1 xf x )(lim 2 xf x real 0)0( f 2)1( f 4)2( f )( fD )Im( f )(lim 0 xf x real 4)(lim 2 xf x )(lim 3 xf x real 4)0( f 4)2( f 2)3( f Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 18 15) 16) a) Domínio: 0,4)( fD b) Imagem: )( fD c) 0)(lim xf x d) 0)(lim xf x e) 1)(lim 2 xf x f) )(lim 0 xf x real g) )(lim 2 xf x real h) )(lim 4 xf x real i) )4(f real j) 2)2( f k) )0(f real l) 1)2( f m) 0)4(f n) 1)5( f 17) a) 16 5 b) 0 c) 6 d) 2e e) 4 18) a) 1D b) 2Im c) Raiz: 0x e 0)0( f d) )(lim 1 xf x e )(lim 1 xf x e) 2)(lim)(lim xfxf xx )( fD 9|)Im( yyf Raízes: 7,1 )(lim 2 xf x real 5)(lim 2 xf x )(lim xf x )(lim xf x 3)2( f 5)2( f Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 19 f) 19) a) dbaD ,, b) *Im c) d) 0 e) f) f g) h) g i) f j) 20) a) b) V F F V V V V F V V 21) 9 1)1( f e 9 1)(lim)(lim 11 xfxf xx . Logo, a função é contínua no ponto 22) a) 5 2D b) 5 2Im c) Raiz: 2 1x e 2 1)0( f d) )(lim 5 2 xf x e )(lim 5 2 xf x e) 5 2)(lim)(lim xfxf xx f) Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 20 23) a) 6 b) 2 3 c) 3 32 d) 2e e) 3 2 f) 2 24) 25) a) b) c) 2, d) 1 e) 2 f) g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 k) 1 l) m) Não, pois )2()(lim 2 fxf x 26) a) 1/ xxD b) 3/Im yy c) Raiz: 0x 0)0( f d) )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x e) 3)(lim)(lim xfxf xx Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Lista de exercícios de Cálculo I – Capítulo 1 21 27) a) 3 1 b) 4 1ln c) 5 3 e d) 20 28) a) b) * c) d) 3 e) 2 f) g) 3 h) 2 i) 1 j) k) 2 l) m) Não, pois )0(f . 29) a) 2 33 b) 5 2 e c) 8 23 d) 6 5 e
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