dado o vetor u (1,-3)determine o vetor w sendo que...

(-3,1) só seria a resposta se além da direnção o módulo também fosse igual. Neste caso o módulo é diferente, então usaremos o vetor unitário para calcular esses vetores. Acompanhe os cálculos abaixo:

Se w tem sentido contrário ao vetor u:

u = (1,-3)

|u| = √10

Após adiquirir  o vetor e o módulo u encontramos o vetor unitário em relação a ele

λu = u/|u| = (1/√10 , -3/√10)

|w|= 2√10

Para achar um vetor com mesmo sentido e direção que u é só multiplicar o módulo do vetor pelo vetor unitário.

Como w está em sentido oposto multiplicamos por -1.

w = |w|*λu*(-1)

w= 2√10 * λu * (-1) = (-2√10/√10 , 6√10/√10) = (-2 , 6)

Se w tiver o mesmo sentido que u não multiplicaremos por -1, e ficara assim então:

w= 2 * λu = (2√10/√10 , -6√10/√10) = (2, -6)

Calculando o vetor e:

Usamos os mesmos passo que para calcular o w, porém multiplicaremos po 4 em vez de 2√10, pois o módulo do vetor e é 4

e = |e|*λu*(-1)

e = 4*λu*(-1) = (-4/√10 , 12/√10)

Bons estudos, qualquer duvida estou aqui.

(A)

Primeiro, deve-se encontrar o vetor \(\overrightarrow w\) com sentido contrário em relação ao vetor \(\overrightarrow u=(1,-3)\). Para isso, sabe-se que o módulo \(|\overrightarrow w|\) é:

\(\Longrightarrow |\overrightarrow w|=2|\overrightarrow u|\)

Como \(\overrightarrow w\) e \(\overrightarrow u\) são antiparalelos, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow -{\overrightarrow w \over |\overrightarrow w|} = {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|}\)

Portanto, o vetor \(\overrightarrow w\) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = -{\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|} |\overrightarrow w|\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = -{\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|} 2 \cdot |\overrightarrow u|\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = -2\overrightarrow u\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = -2\cdot (1,-3)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow w = (-2,6) $}\)

(B)

Agora, deve-se encontrar o vetor \(\overrightarrow w\) com mesmo sentido em relação ao vetor\(\overrightarrow u=(1,-3)\). Para isso, sabe-se que o módulo \(|\overrightarrow w|\) é:

\(\Longrightarrow |\overrightarrow w|=2\)

Como \(\overrightarrow w\) e \(\overrightarrow u\) são paralelos, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\overrightarrow w \over |\overrightarrow w|} = {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|}\)

Portanto, o vetor \(\overrightarrow w\) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|} |\overrightarrow w|\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = {(1,-3) \over \sqrt{1^2 + (-3)^2}} 2\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w = {(2,-6) \over \sqrt{10}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow w = \Big ({2 \over \sqrt{10}},{-6 \over \sqrt{10}} \Big) $}\)

(C)

Agora, deve-se encontrar o vetor \(\overrightarrow w\) com sentido contrário em relação ao vetor \(\overrightarrow u=(1,-3)\). Para isso, sabe-se que o módulo \(|\overrightarrow w|\) é:

\(\Longrightarrow |\overrightarrow w|=4\)

Como \(\overrightarrow w\) e \(\overrightarrow u\) são antiparalelos, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow -{\overrightarrow w \over |\overrightarrow w|} = {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|}\)

Portanto, o vetor \(\overrightarrow w\) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow w =- {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|} |\overrightarrow w|\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w =- {(1,-3) \over \sqrt{1^2+(-3)^2}} 4\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow w =-4 {(1,-3) \over \sqrt{10}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow w = \Big ({-4 \over \sqrt{10}},{12 \over \sqrt{10}} \Big ) $}\)