Vamos resolver a seguinte integral:

\(I=\int {x^2\over x^2+1}dx\)

Adicionando e subtraindo 1 no numerador, temos:

\(I=\int {x^2+1-1\over x^2+1}dx=\int 1dx-\int {1\over x^2+1}dx\)

Fazendo \(x=tg\theta\Rightarrow dx=sec^2\theta d\theta\), temos:

\(I={x^1\over1}-\int {1\over tg^2\theta+1}sec^2\theta\ d\theta\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I=x-\int {1\over sec^2\theta}sec^2\theta\ d\theta=x-\int 1\ d\theta=x-\theta +C\)

onde \(C\) é a constante de integração. Substituindo para a variável original, temos:

\(\boxed{I=x-arctg\ x + C}\)