Podemos reescrever essa equação fatorando os números:
\(\begin{align} 9^x + 21^x &= 49^x\\ 3^x3^x + 3^x7^x &= 7^x7^x \end{align} \)
Dividindo ambos os termos por \(3^x3^x\), temos:
\(1+\left({7\over3}\right)^x=\left[\left({7\over3}\right)^x\right]^2\)
Fazendo \(y=\left({7\over3}\right)^x\), temos:
\(1+y=y^2\Rightarrow y^2-y-1=0\)
Para o discriminante, temos:
\(\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\)
O que nos dá os seguinte possíveis valores para \(y\):
\(y = {1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)
Mas \(y=\left({7\over3}\right)^x>0\), logo:
\(y =\left({7\over3}\right)^x= {1 + \sqrt{5} \over 2}\Rightarrow \boxed{x = log_{7\over3}\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)={log\left({1+\sqrt{5}\over2}\right)\over log\left({7\over3}\right)}}\)
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