preciso de ajuda para resolver a int def de 1 a 2 de ((x^2)/(x^2+1)^2)^2

Nesse exercício vamos resolver a seguinte integral:

\(I = \int_1^2\left[{x^2\over (x^2+1)^2}\right]^2dx = \int_1^2{x^4\over (x^2+1)^4}dx\)

Fazendo \(x = tg\ \theta\Rightarrow dx=sec^2\theta\ d\theta\), temos:

\(I = \int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{tg^4\theta\over (tg^2\theta+1)^4}sec^2\theta\ d\theta\)

Pela relção fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I = \int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{tg^4\theta\over sec^8\theta}sec^2\theta\ d\theta = \int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{sen^4\theta\over cos^4\theta\ sec^6\theta}d\theta = \int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{sen^4\theta\ cos^2\theta}d\theta\)

Para o seno do arco duplo, temos:

\(sen\ 2\theta=2sen\ \theta\ cos\ \theta\Rightarrow sen^2\theta\ cos^2\theta={1\over4}sen^22\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I = {1\over4}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{sen^2\theta\ sen^22\theta}d\theta\)

Pela expressão do cosseno do arco duplo, temos:

\(cos\ 2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta=1-2sen^2\theta\Rightarrow sen^2\theta={1-cos\ 2\theta\over2}\)

Substituindo na integral, temos:

\(I = {1\over4}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{\left({1-cos\ 2\theta\over2}\right)\left({1-cos\ 4\theta\over2}\right)}d\theta = {1\over16}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{1-cos\ 2\theta-cos\ 4\theta+cos\ 2\theta\ cos\ 4\theta}d\theta\)

Até o terceiro termo podemos integrar normalmente:

\(I = {1\over16}\left[\theta-{1\over2}sen\ 2\theta-{1\over4}sen\ 4\theta\right]_{\pi/4}^{arctg\ 2}+{1\over16}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{cos\ 2\theta\ cos\ 4\theta}d\theta\)

Para o limite superior da integral, temos o valor da tangente, temos que encontrar os valores do seno do arco duplo e do arco quadruplo. Pela relação fundamental, temos:

\(tg^2\theta+1 = {1\over cos^2\theta}\Rightarrow 2^2+1={1\over cos^2\theta}\Rightarrow cos^2\theta={1\over5}\)

Pela expressão do cosseno do arco duplo envolvendo o cosseno, temos:

\(cos\ 2\theta=2cos^2\theta-1=-{3\over5}\Rightarrow sen\ 2\theta=\sqrt{1-cos^22\theta}={4\over5}\\ cos\ 4\theta=2cos^22\theta-1=-{7\over25}\Rightarrow sen\ 4\theta=-\sqrt{1-cos^24\theta}=-{24\over25}\)

Substituindo na integral, temos:

\(I = {1\over16}\left[\left(arctg\ 2-{\pi\over4}\right)-{1\over2}\left({4\over5}-1\right)-{1\over4}\left(-{24\over25}-0\right)\right]+{1\over16}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{cos\ 2\theta\ cos\ 4\theta}d\theta\)

Lembrando de prostaférese, temos:

\(cos\ a\ cos\ b={1\over2}[cos(a+b)+cos(a-b)]\Rightarrow cos\ 2\theta\ cos\ 4\theta={1\over2}[cos\ 6\theta+cos\ 2\theta]\)

Substituindo na integral e efetuando os cálculos do primeiro termos, temos:

\(I = {1\over16}\left[\left(arctg\ 2-{\pi\over4}\right)+{1\over10}+{6\over25}\right]+{1\over32}\int_{\pi/4}^{arctg\ 2}{cos\ 2\theta+cos\ 6\theta}d\theta\)

Integrando a segunda parte, temos:

\(I = {1\over16}\left(arctg\ 2-{\pi\over4}+{17\over50}\right)+{1\over32}\left[{1\over2}sen\ 2\theta+{1\over6}sen\ 6\theta\right]_{\pi/4}^{arctg\ 2}\)

Para o último termo, usaremos o seno da soma:

\(sen(a+b)=sen\ a\ cos\ b+sen\ b\ cos\ a\Rightarrow sen\ 6\theta=sen\ 2\theta\ cos\ 4\theta+sen\ 4\theta\ cos\ 2\theta={4\over5}\cdot\left(-{7\over25}\right)-{24\over25}\cdot\left(-{3\over5}\right)={44\over125}\)

Substituindo os limites, temos:

\(I = {1\over16}\left(arctg\ 2-{\pi\over4}+{17\over50}\right)+{1\over32}\left[{1\over2}\left({4\over5}-1\right)+{1\over6}\left({44\over125}+1\right)\right] = {1\over16}\left(arctg\ 2-{\pi\over4}+{17\over50}\right)+{1\over32}\left[-{1\over10}+{169\over750}\right]\)

Simplificando, temos:

\(\boxed{\int_1^2\left[{x^2\over (x^2+1)^2}\right]^2dx={1\over16}\left(arctg\ 2-{\pi\over4}+{151\over375}\right)\approx0,04528}\)