Proposta de Produção Textual Interdisciplinar sobre Cálculo de volume por meio de Integral

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1. INTRODUÇÃO
Embora frequentemente nos passe despercebidos, os fenômenos físicos e tópicos relacionados a matemática estão inseridos em nosso cotidiano. Por isso, cabe ao professor definir estratégias para demonstrar aos alunos a ligação entre conceitos e teorias estudados nas escolas e fenômenos observados em seu dia a dia. 
Para fazer esta ligação entre a teoria e a prática, apresentamos o seguinte relatório referente a uma oficina desenvolvida em conjunto com os professores de Matemática e Física, para alunos do ensino médio, por meio de uma abordagem interdisciplinar. Inicialmente, os professores realizaram uma reunião na qual decidiram o tema, sendo cálculo do volume de um sólido utilizando a integral por revolução e cálculo do centro de massa de um objeto, e os objetivos a serem desenvolvidos pelos alunos, sendo: relacionar o volume de um sólido com o empuxo deslocado por ele; calcular o volume de um sólido específico (cone); calcular o empuxo deslocado por este cone; identificar e calcular o centro de massa de um cone.
A oficina foi idealiza por meio de uma abordagem interdisciplinar, que visa a construção de uma ilha de racionalidade, desenvolvida por Fourez, Maingain e Dufour (2008), na qual inicia a proposta a partir de um problema complexo a ser analisado. Por isso, “é necessário que as disciplinas constituam uma prática intregadora que visem federar os conhecimentos envolvidos em prol de um dado projeto/algo que se quer compreender” (VENTURI, CLEBSCH e LUCA, 2016, p. 307). 
Para desenvolver a oficina por meio da construção da ilha de racionalidade, é preciso que os professores apresentem os seguintes passos aos alunos: a) um problema complexo a ser resolvido (o que pretende responder exatamente?); b) descrever uma tarefa, listando os objetivos a serem alcançados; c) realizar a etapa clichê (fazer um levantamento sobre a opinião dos alunos sobre o tema); d) fazer a investigação sistêmica (listar os materiais a serem usados na oficina); e) definir as caixas pretas (o domínio do conhecimento a ser estudado, como no caso, volume, empuxo e centro de massa) e por fim, f) realizar uma busca aos especialistas (fontes de informação, livros, artigos entre outros utilizados pelos alunos/professores para desenvolverem a atividade) (FOUREZ, MAINGAIN e DUFOUR, 2008)
Conforme Fourez, Maingain e Dufour (2008) apresentam, é necessário que os alunos compreendam que o problema complexo só pode ser respondido a partir da união de duas ou mais disciplinas, sendo necessário realizar uma busca aos especialistas, e para isso, escolhemos o problema complexo como sendo: qual é a relação entre o volume de um sólido e o empuxo, e como calcular o volume de um sólido, como por exemplo, um cone?
Desta forma, nos seguintes capítulos, apresentaremos as etapas realizadas durante a oficina, e as conclusões obtidas nas atividades.
2. DESENVOLVIMENTO
Para iniciarmos nossa discussão sobre método da integral por revolução a fim de chegarmos as fórmulas dos sólidos estudados na educação básica, o cone reto será o sólido utilizado ao longo deste trabalho, aonde também trataremos de métodos mais lúdicos de cálculo de volume e os resultados obtidos de uma atividade experimental sobre o tema. 
Ainda nessa temática, fizemos uma breve contextualização sobre aplicação de Cálculo diferencial e Integral ao cálculo do Centro de Massa, esse componente curricular obrigatória da matéria de Física no ensino médio. 
· ETAPA1: CÁLCULO DO VOLUME DE UM SÓLIDO UTILIZANDO MÉTODO DA INTEGRAL POR REVOLUÇÃO 
Os sólidos de revolução podem revolução podem ser obtidas pela rotação de uma curva de um plano em torno de uma reta desse plano, essa denominada eixo de revolução ou rotação (RAUTENBERG, 2013). 
Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b], em torno do eixo x. A Figura 1 ilustra o caso em que f é definida por no intervalo [0,h]. 
Figura 1. O gráfico da função 
Considere o ângulo θ formado pela a reta f e o eixo da abscissa, temos:
	
	I
O coeficiente angular da reta f(x) então pode ser expresso em função da constante . Assim:
	
	II
Podemos substituir o valor de na função f(x), obtemos a seguinte expressão:
	
	III
sabemos que o volume dos sólidos quando a revolução é no eixo é dado pela seguinte expressão:
	
	IV
Substituindo a equação III na fórmula de volume, temos:
	
	V
Assim chegamos a expressão do volume de um cone. 
	
	VI
Par tornarmos mais concreto os objetivos deste trabalho, utilizaremos o método descrito acima para calcularmos o volume do cone da Figura 2. O sólido foi construído com material de baixo custo, garrafa PET, e preenchido com água devidamente vedado para que não haja vazamentos. 
Figura 2. Cone reto construído com material de baixo custo
Sendo β o ângulo formado com a geratriz do cone e raio da base, temos que o coeficiente angular da nossa função f vale . Sendo assim obtemos nossa função para aplicar o método de integração por rotação, dada por:
	
	VII
Aplicando a equação IV no intervalo de integração de [0,5], temos: 
	
	VIII
Concluímos que o valor do volume do cone reto utilizado vale 471 cm³. 
Calcular volume de objetos e recipiente é imprescindível no nosso dia-a-dia, especialmente quando tratamos de economia. Como assim? Por exemplo, empresas que trabalham com sistemas de aproveitamento da água da chuva precisam fazer cálculo do volume do reservatório baseado em índices pluviométricos da região que deseja instala-lo, do contrário poderá haver desperdício de investimento caso o reservatório não comporte muita água, problema esse semelhante com que ocorre em barragens de hidrelétrica, em que época que chuva não consegue captar todo volume de água. No entanto podemos pensar com problemas mais simples, como em uma receita de bolo para medirmos a quantidade de leite. 
Arquimedes foi importante cientista italiano que entrou para história da ciência por solucionar um problema de sua época utilizando cálculo de volume. O rei Hierão II, governante de Siracusa e amigo de Arquimedes, suspeitou que uma coroa de ouro puro que ele mandara fazer havia a mistura de outros metais, perguntou-lhe se seria possível descobrir a fraude sem danificar a coroa. Ele observou que a quantidade de água que se derramava da banheira quando nela entrava, era igual ao volume do seu corpo quando este imergia, assim se coroa fosse de ouro puro deveria deslocar uma quantidade de água semelhante a deslocada por uma massa de ouro de igual peso (GUIMARÕES, 1999). 
Inspirados na solução Arquimedes, utilizamos o mesmo método para calcularmos do cone construído. Para isso utilizamos dois recipientes, o primeiro completamente preenchido de água e segundo para conseguir captar o liquido transbordado ao colocarmos o cone e uma proveta para medirmos o mesmo, como representado na figura 3.
Figura 2. Experimento de Arquimedes
O procedimento foi repetido cinco vezes, cujos os dados experimentais foram registrados na tabela 1.
Tabela 1. Dados experimentais do volume obtido do cone reto
	N°
	1
	2
	3
	4
	5
	Volume (cm³)
	440
	421
	400
	450
	413
Assim obtemos que o valor experimental do volume do cone foi de 425±18 cm³. Podemos atribuir a variação entre o valor teóricos e o valor experimental devido a erros grosseiros, como a falta de atenção ou falta de prática do experimentador ao captar o liquido transbordado pela proveta o que acarretaria a certa perda; e também podemos erros sistemáticos que são consequências de imperfeições dos instrumentos utilizados. 
· ETAPA 2: CENTRO DE MASSA DE UM SÓLIDO E DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO DE CORPOS
Em um sistema de particular há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente sobre esse ponto (HALLIDAY; RESNICK, 2016) 
Seja k um inteiro positivo. Um sistema de massa é um conjunto na forma:
	
	IX
Onde , , , ... , são pontos do plano, e ao ponto está associado uma massa , de modo que . O centro de massa (CM) dosistema de massas S é o ponto dado por: 
	
	X
	
	XI
No entanto, podemos estender nossa discussão sobre o centro de massa de um sistema de partículas para corpos maciços. Considere que um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm, os somatórios da equação X e XI se tornam integrais e as coordenadas do centro de massa são definidas através das equações:
	
	
	
	XII
Vamos considerar um objeto homogêneo, em outras palavras, cuja massa especifica (densidade), representada pela letra grega , é a mesma para todos os elementos infinitesimais desse objeto. Nesse caso podemos escrever dm em função da densidade, de sua massa total M e seu volume total V:
	
	XIII
Substituindo a equação XII na equação XIII, obtemos: 
	
	
	
	XIV
Sendo assim, podendo calcular tanto o centro de massa de um sistema de partículas quanto de um corpo extenso, ampliaremos esse conceito para a relação com a movimentação de corpos. 
Considere o mesmo sistema de massa e sejam respectivamente, suas velocidades num determinado instante. Podemos escrever a velocidade do centro de massa como uma média ponderada. 
	
	XXI
Logo, a quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.
3. CONCLUSÃO
Nosso objetivo com este trabalho foi mostra uma atividade pedagógica envolvendo as disciplinas Matemática e Física dentro de uma proposta de interdisciplinaridade sobre cálculo de volume e suas aplicações. Assim, apresentou-se como problema motivador a determinação do volume de cone reto utilizando método da integral de rotação e também o princípio de Arquimedes. 
Destacamos a importância de trabalharmos atividades interdisciplinares, pois essas tendem a convidar os estudantes a refletir sobre como um determinado conteúdo se relaciona com diferentes áreas do conhecimento, cuja finalidade é responder os problemas do nosso cotidiano. Além de que a interdisciplinaridade é uma questão amplamente abordada nos documentos oficias da educação, especialmente nas orientações da organização curricular, como mostra o inciso § 2º do artigo 25° da LDB:
§ 2º A interdisciplinaridade e a contextualização devem assegurar a transversalidade do conhecimento de diferentes disciplinas e eixos temáticos, perpassando todo o currículo e propiciando a interlocução entre os saberes e os diferentes campos do conhecimento (BRASIL, 1996). 
Nossa intenção com este trabalho é ampliar as possibilidades de atividades interdisciplinares nas escolas e que possibilitem um ensino de matemática muito mais contextualizado e dinâmico. Para isso, os futuros profissionais da educação precisam envolver-se durante em sua formação acadêmica em tais práticas e desmistificar a visão de um ensino de matemática estagnado e puramente teórico, de modo que se tornem professores criativos com visão de ensino-aprendizagem mais global, em outras palavras, não basta querer ser interdisciplinar é preciso se perceber como tal. 
REFERÊNCIAS 
[1] VENTURI, Tiago; CLEBSCH, Angelisa Benetti; LUCA, A. G. Interdisciplinaridade no ensino de ciências: possibilidades e Desafios para a formação de professores. Revista da SBEnBio, v. 9, p. 305-318, 2016.
[2] RAUTENBERG, R. R. OS TEOREMAS DE PAPPUS PARA OS SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO. Dissertação de Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2013
[3] GUIMARÃES, A. B. A. B. O velho princípio de Arquimedes. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 16, n. 2, p. 170-175, 1999.